Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
константы связи не является больше полностью притягивающей для р-»-0.
Однако мы можем теперь определить инфракрасно-притягивающую область, или
даже инфракрасно-притягивающую точку. Обозначим масштабно
переопределенные перенормируемые связи (включая массы) через ]а(ц), а
неперенормируемые связи — через ^(р). Поскольку перенормируемые связи
никогда не порождают бесконечностей, которые требуют неперенормируемых
контрчленов, уравнения ренорм-группы для ?^(р)<^1 должны принимать вид
Р Щ^Та М » Р<* (7 (р)).
** i w X Вав й (i1)) (р)-
Кроме того, для 7(р)<^1 петлевые вклады в ВАВ становятся пре-небрежимыми,
так что _
ВлвФъ-ЛлЬлв (7<1).
По определению FA является неперенормируемым взаимодействием, поэтому
dA>0. Таким образом, имеется по крайней мере конечная область Л на
поверхности FA=0, в пределах которой все собственные значения матрицы ВАв
положительны. Это инфракрасно-притя-гивающая область (всякая траектория
на по крайней мере конечном участке плоскости 91^ вокруг Л притягивается
к ней при р->-0).
Кроме того, мы не знаем, лежит ли ультрафиолетовая фиксированная точка g*
внутри области 91^, однако не столь уж неразумно пред-
1) Это — обобщение результата Апплеквиста и Караццоне [147]. Они
показали, что в перенормируемой теории «легких» и (гораздо более)
«тяжелых» частиц взаимодействия между «легкими» частицами даются
эффективной перенормируемой теорией поля, в которой «тяжелые» частицы не
появляются.
15 № 1230
434
С. Вейнберг
положить, что лежит. На самом деле, это, по-видимому, может быть
проверено экспериментально: имеется огромная область масштабов
перенормировки 1 ГэВ<^р<^1019 ГэВ, внутри которой масштабно
переопределенные неперенормируемые гравитационные связи FА (р.)
чрезвычайно малы, а перенормируемые слабые, электромагнитные и «сильные»
взаимодействия также имеют довольно малые связи, так что Влв имеет
положительные собственные значения «—dA. Если предположить, что
ультрафиолетовая фиксированная точка gi действительно лежит внутри
области ЯЛ‘ то мы можем снова заключить, что влияние неперенормируемых
связей становится пре-небрежимым при обычных энергиях. Более конкретно, в
пределах области масштабов перенормировки, в которой все gt (р) малы, не-
переопределенные масштабно связи gt (р) опять будут порядка Ма>, как в
(28), где М — обычная постоянная интегрирования, связанная с масштабом
перенормировки, при котором gj(p) приближается к фиксированной точке g'.
Обычные значения гравитационных связей G и другие неперенормируемые связи
определяются в точке перенормировки с р порядка массы типичной легкой
частицы, где масштабно переопределенные связи (включая m/р) становятся
как раз порядка единицы, поэтому эти обычные связи также будут порядка
Mdi. Мы можем, таким образом, отождествить М с планков-ской массой, как в
(29),и снова сделать вывод, что влияние неперенормируемых связей при
обычных энергиях Е<^МР будет подавляться, как степени Е/Мр.
5. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО РАЗМЕРНОСТИ
В разд. 3 было подчеркнуто, что существование фиксированной точки и
размерность ее ультрафиолетовой критической поверхности не зависят от
того, определяем ли мы параметры связи обычной перенормировкой, размерной
регуляризацией или «плавающим» ультрафиолетовым обрезанием. Однако опыт
показывает, что метод размерной регуляризации [137—139] с большим запасом
является самым удобным для актуальных вычислений 2). Несколько
неожиданным оказывается, что размерная регуляризация дает также очень
удобный базис для изучения фиксированных точек при произвольной, нецелой
размерности 2); в разд. 3 мы отмечали, что такое
х) Использование размерной регуляризации для построения новой системы
уравнений ренорм-группы принадлежит т’Хофту [150]. Вывод, приведенный
здесь, представляет собой несколько упрощенную версию вывода, данного
т’Хоф-том.
2) В работе [150] перенормированная константа связи была определена
прямо при D—4 как постоянный член в разложении в ряд Лорана в окрестности
точки D=4. Расширение этого определения и соответствующего уравнения
ренорм-группы на произвольную иррациональную пространственно-временную
размерность неявно использовалось в течение некоторого времени в работах
[23, 153, 154] и явно было дано Гроссом [151].
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
435
продолжение по размерности дает метод, при котором можно использовать
теорию возмущений для изучения фиксированных точек.
Размерная регуляризация позволяет нам вычислить все фейн-мановские
интегралы в конечном виде для нерациональной пространственно-временной
размерности D, но эти интегралы будут иметь полюсы при приближении D к
различным рациональным значениям. Возьмем некоторый определенный набор
рациональных значений пространственно-временной размерности Ds и
предположим, что неперенормированные константы связи gi0(D) имеют полюсы,
которые будут аннулировать полюсы при D=D, в фейнма-новских интегралах,
давая скорости реакций, которые конечны при D=Da. (В оригинальной
