Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
времени Dr<4, при которой существует перенорми-
х) Асимптотическая свобода неабелевых калибровочных теарий была открыта
Политцером [128], а также Гроссом и Вильчеком 1129].
*) См. примечание на с. 410.
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
427
руемая и асимптотически свободная теория гравитации. Как мы видели, это
означало бы, что фиксированная точка при g*=0 имеет ультрафиолетовую
критическую поверхность конечной размерности. Если мы затем увеличим
размерность D, теория будет становиться неперенормируемой, но
непрерывность заставляет нас ожидать, что фиксированная точка, которая
имеется при g* =0 для D—Dr, будет плавно смещаться и что по крайней мере
для конечной области значений D выше Dr ультрафиолетовая критическая
поверхность будет сохранять ту же размерность. Следовательно, для D=Dr+e
мы можем рассчитывать найти фиксированную точку с g* порядка е и изучить
свойства этой фиксированной точки с помощью разложения по степеням е.
Этот подход уже применялся [132—135] к нелинейной ст-модели (которая
является перенормируемой и асимптотически свободной при Dr=2), хотя с
несколько иной точки зрения. Его применение к гравитации будет описано в
разд. 6 с использованием методов, обсуждаемых в разд. 5.
При проведении вычислений очень полезно знать, что хотя Pi-функции и Вг;-
матрица зависят от деталей нашей процедуры перенормировки и от того, как
определяются параметры связи git однако собственные значения В,;-матрицы
от этого не зависят ‘J. Имеется широкий выбор способов, которыми мы могли
бы изменить определение gi(p).
а. Мы могли бы просто выбрать другой набор точек перенормировки, и в этом
случае переопределенные масштабно параметры связи (9) стали бы функциями
gi(p) масштаба импульсов р в новых точках перенормировки.
б. Мы можем использовать размерную регуляризацию [137 — 139], и в этом
случае «перенормированные» связи могут быть приняты за постоянные члены в
разложении неперенормированных связей gl0 в ряд Лорана вблизи
пространственно-временной размерности D=4:
" d, (D) Г— у-. . (И)) "1 /оо\
|g-^+g,-(D-4)v j» <23>
где р — «единица массы», вводимая для того, чтобы сделать gt (р)
безразмерными.
в. Мы можем ввести обычное ультрафиолетовое обрезание при импульсе р и
взять функции gt (р) в качестве переопределенных непе-
*) Эго показано для теории критических явлений Вегнером [136], В этой
работе подчеркивается, что инвариантность критических экспонент относится
только к тем собственным векторам, которые связаны о существенными
связями. В статистической физике связи, которые не существенны,
называются «излишними». Я использую здесь вместо этого термин
«несущественный», поскольку, обращаясь к противоположному ему термину,
легче сказать «существенный», чем «не излишний».
428
С. Вейнберг
ренормированных связей, причем выбрать зависимость обрезания таким
образом, чтобы скорости реакций не зависели от обрезания *).
В этих или других случаях новые связи gt должны быть представимы как
функции старых связей gj (р) и единственной другой безразмерной величины
р/р:
g, (р) = ?<(-?> Ы^)) •
Однако новые связи не зависят от того, как определены старые связи,
поэтому они являются не зависящими от р:
о=р^=-р
г г дц dgj Ф
Другими словами, мы можем определить новую ргфункцию
М?(Й))=Й-^-, (24)
ар
которая связана со старой P-функцией законом преобразования конт-
равариантного вектора
P'(i)=Xl|pyte)- (25)
Мы видим, что существование фиксированной точки является инвариантным
понятием: если Рг(?*)=0, то Pf(ir(g*))=0. Сами Р-функ-ции не являются
инвариантными, и так же не инвариантны их производные
дР/ _ у a2g,- dgi о /=\ , у dgj apfc (g) dgi
dgj dgh dgi <5gy ^ d~gk dgi dgj'
Но в фиксированной точке первый член обращается в нуль, поэтому новая ^-
матрица связана со старой следующим образом:
Btj^^jAikBkiATil. (26)
kl
• (27)
' °gk 'g=g*
Это преобразование подобия, поэтому собственные значения В — те же самые,
что и собственные значения В. (Эти собственные значения известны как
критические экспоненты; они зависят только от типа степеней свободы
системы, а не от каких-либо других физических переменных.) В
частности, вопрос об асимптотической безо-
*) Это метод, используемый в большинстве приложений ренорм-группы н
критическим явлениям. См., например, работу [23].
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
пасности является вопросом, который может быть адресован к любому из
формализмов «а», «б», «в», охарактеризованных выше, о уверенностью, что
ответ будет тем же самым.
4. ФИЗИКА ПРИ ОБЫЧНЫХ ЭНЕРГИЯХ
Условие асимптотической безопасности требует существования
фундаментального масштаба энергии М: это значение ц, при котором
траектория gt (р) приближается в пределах некоторого определенного
расстояния к фиксированной точке g*. Ниже мы увидим, что эта характерная
энергия будет порядка планковской массы *), Мр=1,2-10“ ГэВ. Проблема, к
которой мы обращаемся теперь, состоит в описании физических явлений при
обычных энергиях, которые гораздо меньше чем М. В частности, мы хотим
