Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения
—2oN\ + l, (33)
= 'jjj'M'igi, (34)
где Я? — число петель; I — число внутренних линий; 4> — число внешних
линий в диаграмме. Вместе с (30) и (32) они дают
W = 2 JTt(Pi-2) + 2^+€-2. (35)
Если не рассматривать никакого сверхперенормируемого космологического
члена AVg> то гравитационными взаимодействиями с наименьшим числом
производных являются взаимодействия, выводимые из эйнштейновского члена —
\f gRl\bnG, для которых pt=2. Следовательно, для любой заданной функции
Грина с заданным числом внешних линий <§ основными диаграммами для г^Мр1
будут древесные диаграммы (J?=0), построенные только из эйнштейновского
лагранжиана. Суммирование этих древесных диаграмм равносильно решению
классических полевых уравнений *); в частности, одногравитонная функция
Грина в присутствии классического фонового распределения энергии и
импульса удовлетворяет классическим полевым уравнениям Эйнштейна для
гравитационного поля, создаваемого этим тензором энергии-импульса.
Следующие поправки будут появляться как от диаграмм с одной петлей в
чистой общей теории относительности, так и в равной степени от древесных
диаграмм, содержащих одну вершину, возникающих из более высоких
*) Это показано для обычных полевых теорий в работах Г142—144] и
специально для общей теории относительности в низших порядках в работе
[145]. Приложения этих результатов к движению больших масс рассмотрены в
работе [146].
432
С. Вейнберг
взаимодействий VgR2 или VgR^R^, для которых р,=4. Ультрафиолетовая
расходимость в петлевом графике исключается контрчленом, который дают
взаимодействия VgR2 и Из
уравнения (35) видно, что эти квантовые поправки к классической общей
теории относительности подавляются множителем порядка (гМр)~* и,
следовательно, полностью пренебрежимы на макроскопических расстояниях.
Кстати, из (35) видно, что даже вклады классических древесных диаграмм в
заданную функцию Грина подавляются множителем, пропорциональным G4t для
каждой добавочной внешней гравитонной линии. Когда мы вычисляем метрику,
создаваемую массой т, мы также получаем другой множитель G1/* т для
каждой связи этих внешних линий с массой. Причина, по которой обмен
древесными диаграммами гравитонных линий при <§>2 внешних линий оказывает
обнаружимое влияние на движение планет, заключается как раз в том, что
солнечная масса т0 так велика, что Gm0/r уже не является полностью
пренебрежимо малой величиной.
Приведенное выше обсуждение может быть непосредственно распространено на
теории гравитации и материи по крайней мере в случае, когда не имеется
никаких масс и никаких сверхперенор-мируемых или асимптотически свободных
перенормируемых взаимодействий между материальными полями. (Например, она
была бы уместна для теории гравитонов, фотонов и безмассовых электронов.)
В такой теории фиксирования точка при нулевой связи является еще
полностью притягивающей для р-ИЗ, поэтому, согласно нашим предыдущим
аргументам, связи при обычной энергии будут иметь порядок величины
g( (р) = О (МрО для р<^Мр.
Физические явления при обычных энергиях ?<^Мр будут полностью управляться
перенормируемыми взаимодействиями, для которых dt=0, поскольку все
неперенормируемые взаимодействия с dj<0 подавляются как степени Е/Мр и,
следовательно, полностью необнаружимы. Одна лишь гравитация составляет
исключение: как мы видели, тот факт, что гравитация когерентно связана с
каждой частицей в большом теле, подобном Солнцу, позволяет нам наблюдать
ее макроскопические проявления, несмотря на ее собственную слабость.
Теории гравитации и материи, включающие массы или асимптотически
свободные перенормируемые взаимодействия, требуют несколько большего
внимания. Во-первых, могут быть частицы с массой порядка Мр—например,
имеются промежуточные векторные бозоны (почти столь же тяжелые) в
некоторых суперобъединенных теориях слабых, электромагнитных и сильных
взаимодействий [18]. Такие частицы не вызывают здесь никаких проблем; в
функциях Грина при обычной энергии Е<^МР любая внутренняя линия с массой
М порядка Мр может быть заменена рядом неперенормиру-
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
433
емых взаимодействий, полученным разложением пропагаторов тяжелых частиц:
__!________!__(jV_
М* '
(Здесь опять существенно, чтобы масштабы импульсов р всех точек
перенормировки были приняты величинами порядка Е, а не М, так чтобы
интегралы сходились при импульсах qwE<^.M.) Таким способом мы получаем
эффективную полевую теорию 1), включающую только легкие частицы с
массами, гораздо меньшими чем Мр. Эти частицы, конечно, содержат в себе
все знакомые нам: гравитоны, фотоны, лептоны, кварки, промежуточные
векторные бозоны, хиггсовские бозоны и глюоны [148, 149].
Теперь предположим, что эта эффективная полевая теория включает либо
некоторые малые массы т<^Мр, либо некоторые асимптотически свободные,
перенормируемые взаимодействия, действующие между легкими частицами, либо
и то и другое. В этом случае фиксированная точка в начале в пространстве
