Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся теперь к проблеме определения поведения существенных связей gt
(р). Изменение в gt (р) при заданном частичном изменении в р является
безразмерной величиной и может поэтому зависеть от всех gi (р), а не
отдельно от самого р, поскольку здесь не имеется других размерных
параметров, с которыми можно было бы сравнивать р. Поэтому скорость
изменения gt (р) относительно изменения масштаба точки перенормировки р
может быть переписана в виде обобщенного уравнения Гелл-Манна—Лоу‘)
М- j-gi W = Pi (в О*)). О2)
1) См. примечание на с. 410.
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
421
Каждая отдельная теория характеризуется траекторией в пространстве
константы связи, порождаемой решением (12) с заданными начальными
условиями.
Функция Р (g) может быть вычислена как степенной ряд по gt, но это,
вообще говоря, не поможет нам установить поведение g(p) при р-»-оо.
Однако мы можем идентифицировать один общий класс теорий, в которых
нефизические особенности почти несомненно отсутствуют. Если связи gi (р)
достигают «фиксированной точки» g* при р->оо, то (11) дает простое
масштабно-инвариантное поведение RccED для Е-+оо. Чтобы g(p) достигало g'
при р->-оо, функция р( (g) должна обращаться в этой точке в нуль
&(**) = 0, (13)
а связи должны лежать на траектории gt (pi), которая на самом деле
попадает в фиксированную точку. Поверхность, образованная такими
траекториями, будет называться ультрафиолетовой критической поверхностью.
Обобщенный вариант перенормируемости, который мы хотим предложить для
квантовой теории гравитации, заключается в том, что константы связи
должны лежать на ультрафиолетовой критической поверхности некоторой
фиксированной точки. Такие теории будут называться асимптотически
безопасными ').
(Между прочим, требование, чтобы параметры связи достигали фиксированной
точки при р-»-оо, не может быть, вообще говоря, удовлетворено, если мы
включим вместе с существенными также и несущественные параметры связи.
Например, уравнения ренорм-группы не могут изменить своей формы, когда мы
умножаем каждое поле на независимую постоянную; следовательно, если
константы перенормировки поля Zr(p) удовлетворяют этим уравнениям, то это
же выполняется для Zr(p), умноженных на произвольные постоянные, и
поэтому уравнения для Z,(p) должны принимать вид
(^) == Ti- (^)) -
Вообще говоря, нет причины, по которой yr(g*) должно было бы обращаться в
нуль или расходиться, поэтому решение для р—>-оо будет иметь форму
ZT (р) ~ pvr (г*).
Это вводит поправки к скейлингу в функциях Грина вне массовой
поверхности. Однако скорости реакций не зависят от Z, поэтому они могут
проявлять «наивный» скейлинг R->-ED, даже если Z, (р)->°о для р—>-оо.)
‘) Более ранние обсуждения — в докладе 1126J. Близкие идеи
рассматривались в работе [127].
422
С. Вейнберг
Мы не знаем на самом деле, что теория, которая не является асимптотически
безопасной, будет иметь нефизические особенности — предположение
асимптотической безопасности является как раз одним из способов обрести
разумную уверенность в том, что нефизические особенности не появятся. В
качестве примера того, что может случиться, когда теория является не
асимптотически безопасной, рассмотрим образец дифференциального уравнения
1).
(И)
/
где at и g- — наборы произвольных постоянных. Траекториями, достигающими
фиксированной точки g*, являются, очевидно, траектории с начальными
значениями вдоль линии
= 5 > 0, (15)
поэтому здесь критическая поверхность одномерна. Если g(p) находится на
этой поверхности, причем |=?0>0 при р=р0, то при больших значениях р. для
g справедлива формула (15), в которой
i = io[l + io2^ln(p/p0)]-1.
Мы видим, что в этом случае gt плавно подходит к g' при р—>-оо, и теория
является асимптотически безопасной. С другой стороны, если gt не лежит на
линии (15), то возникает расходимость при конечном значении р. Для gi~+°°
решением уравнения (14) будет
i<- — я,- [— 2 а)1п (l^lO]"х.
и мы видим, что gj—>-оо, когда р приближается к р„. Если предположить,
что бесконечность в параметрах связи будет давать нефизическую
особенность в скоростях реакций, то мы должны здесь заключить, что
теория, связи которой не лежат на ультрафиолетовой критической
поверхности (15), будет обнаруживать нефизические особенности при энергии
?=р„.
Конечно, вопрос о том, предвещает ли бесконечность в константах связи
особенность в скоростях реакций, зависит от того, как определяются
константы связи. Мы всегда могли бы принять необычное определение
(например, g'=(g—g*)-1). такое, чтобы скорости реакций были конечны даже
при бесконечных параметрах связи. Можно избежать этой проблемы, если мы
определим кон-
J) Это является обобщением примера, предложенного мне Виттеном. Конечно,
пример специально подобран так, чтобы иметь траектории с желаемым
поведением, т. е. они попадают в фиксированную точку для ц-*-оо или
уходят на бесконечность для конечных значений р.. Однако именно этот
пример показывает, что такое поведение может иметь место для р-функций,
