Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
переход происходит, когда параметры теории принимают значения на
инфракрасной критической поверхности 1), состоящей из траекторий (12),
которые попадают в фиксированную точку при [х—>-0. Из (18) мы видим, что
число параметров, которые следует установить, чтобы использовать теорию
на инфракрасной критической поверхности, равно числу отрицательных
собственных значений 5^ и, следовательно, равно именно размерности
ультрафиолетовой критической поверхности. Но во всех случаях мы знаем,
что это число конечно: только конечное число параметров (температура,
давление, магнитное поле) должны быть установлены, чтобы ввести фазовый
переход второго рода. Таким образом, по крайней мере для фиксированных
точек, связанных с фазовыми переходами второго рода, мы можем быть
уверены, что ультрафиолетовая критическая поверхность имеет конечную
размерность.
Мы уже отмечали, что для конечномерной критической поверхности условие
асимптотической безопасности действует весьма аналогично условию
перенормируемости, ограничивая свободные параметры в физических теориях.
Фактически теперь мы можем видеть, что связь между асимптотической
безопасностью и перенорми-руемостью является даже более тесной. Любая
теория всегда будет иметь фиксированную точку в начале, g* =0. (Если
существенные связи стремятся к нулю при одном масштабе перенормировки р,
они будут стремиться к нулю при всех р, поэтому Р/ (g) всегда обращается
в нуль при g=0.) Предположим, что для некоторой теории она является
единственной подходящей фиксированной точкой с ультрафиолетовой
критической поверхностью ненулевой размерности, так что асимптотическая
безопасность требует, чтобы связи лежали на этой поверхности. «Петлевой
вклад» в (21) обращается в нуль при gi=0, поэтому 5-матрица для этой
фиксированной точки есть
Л (7 = — df&ij. (22)
Таким образом, чтобы траектория gid-1) попадала в точку g*=0 при р->оо,
необходимо, чтобы все gt при dj<0 обращались в нуль. Но именно эти
взаимодействия являются неперенормируемыми 2), поэтому такой тип теории
должен быть перенормируемым в обычном смысле.
Строго говоря, перенормируемость может быть недостаточна. 5-матрица для
g*=0 будет, вообще говоря, иметь несколько нулевых собственных значений,
соответствующих «строго» перенормируемым взаимодействиям с dt=0, и
необходимо также, чтобы эти вза-
1) См. примечание на с. 410.
*) См. примечание 2 на с. 407,
426
С. Вейнберг
имодействия имели Pi/gi<0 вблизи gi=0, чтобы gt (р) стремились к нулю при
р—>-оо. Следовательно, ультрафиолетовая критическая поверхность
фиксированной точки g*=0 фактически состоит из всех теорий, которые
перенормируемы и асимптотически свободны1). Однако с практической точки
зрения перенормируемая теория типа квантовой электродинамики может
считаться асимптотически безопасной, даже если она не является
асимптотически свободной, поскольку рост строго перенормируемой связи
типа е(р) является только логарифмическим, и какие-либо нефизические
особенности могли бы появляться только при экспоненциально высоких
энергиях. Это было бы не так, если бы теория включала неперенормиру-емые
взаимодействия типа взаимодействия Ферми.
В некоторых случаях асимптотическая безопасность может вести к
перенормируемости, даже если фиксированная точка имеется не при g*=0.
Известная работа *) Гелл-Манна и Лоу говорит о существовании
фиксированной точки е*ФО в квантовой электродинамике, где Рг(е*)=0. Если
существует такая фиксированная точка в квантовой электродинамике, то она
является фиксированной точкой для самой общей полевой теории фотонов и
электронов, но нет никаких оснований ожидать, что траектории с не
обращающимися в нуль значениями для неперенормируемых связей должны
попадать в эту фиксированную точку. Поэтому, исключая другие
фиксированные точки, действие условия асимптотической безопасности будет
требовать именно перенормируемости обычного типа.
Проблема, перед которой ставит нас рассмотрение квантовой гравитации,
состоит в том, что может не быть никаких теорий, которые являются
перенормируемыми, оставаясь только асимптотически свободными. Поэтому мы
должны искать другие фиксированные точки вдали от g*=0. Вообще говоря, не
имеется особых причин, по которым фиксированная точка с g*ф0 имела бы
малое g*, поэтому теория возмущений не может быть нам слишком полезной
для поиска таких фиксированных точек или исследования их свойств.
Почти такая же проблема возникла в теории критических явлений:
несостоятельность обычной теории поля показала, что фазовые переходы не
связаны с фиксированной точкой при нулевой связи, и возникла
необходимость искать другие фиксированные точки. В этом случае проблема
могла бы быть решена 1130, 131] продолжением по пространственной
размерности системы, «е-расшире-нием». Поэтому представляется разумным
попытаться рассмотреть продолжение по пространственно-временной
размерности в исследуемой проблеме.
Предположим, что мы могли бы найти некоторую размерность пространства-
