Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
но не было бы нефизических особенностей в любом конечном порядке теории
возмущений. Однако
ультрафиолетовых расходимостей 157 — 59]. То же самое оказалось верным в
одно- и двухпетлевом порядках для О (п)-расширенной супергравитации с п
генераторами суперсимметрии.. Однако в цитированной выше работе Дезера,
Кэя и Стелле и в работе |60] было указано, что имеются возможные
ультрафиолетовые расходимости в чистой супергравитации в трехпетлевом
порядке, которые уже не могут быть исключены по соображениям симметрии.
Аналогичные проблемы были обнаружены в трехпетлевом порядке в О (2)-
расширенной супергравитации (Deser S., Kay J. H., частное сообщение).
Возможные ультрафиолетовые расходимости в супергравитации были
проанализированы для всех порядков теории возмущений в работе [61].
Возможные расходимости найдены в каждом порядке выше двух петель, но еще
неизвестно, являются ли какие-нибудь из их коэффициентов ненулевыми.
2) Многообразные методы изменения порядка суммирования в общей теории
относительности или в аналогичных теориях были изучены в работах [62—71].
2) Перенормируемые теории гравитации, основанные на лагранжиане,
который включает члены VgR* и VgR^R^v, были предложены Дезером [72] и
Вейнбергом 173]. Общее исследование таких теорий было проведено Стелле
[74].
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
413
мы можем просуммировать вклады в R2 в R^R^ членов, которые квадратичны по
гравитационному полю h(где, как обычно, 32лG/i^v). Это дает
модифицированный гравитационный пропагатор, в котором обычный член l/k2
заменяется на
± afGk* -1 + ± afGk* -р- afGk* ^ + ... = (й* - a/О*)"1. (2)
где а — безразмерная функция /'//. (В качестве альтернативы мы могли бы
просто рассматривать квадратичную часть членов R2 и RvJtT как часть
лагранжиана нулевого порядка и получить (2) непосредственно как «голый»
пропагатор для этой теории). Он достаточно быстро стремится к нулю на
бесконечности, так что лагранжиан (1) теперь проходит обычные степенные
тесты на перенорми-руемость. Неудобно, конечно, что (2) имеет теперь
полюс при k2= =—1/аfG с вычетом —Ma2f2G2 неподходящего знака, чтобы
согласовываться с унитарностью 1).
Встретившаяся здесь проблема является частным случаем более общей
трудности. При обычных предположениях аналитичности любое изменение
порядка суммирования будет вообще заменять \!k2 в гравитационном
пропагаторе на интеграл [76, 77]2)
Унитарность требует р(ц)^0 (за исключением, возможно, вклада петлевых
графиков, содержащих гравитоны или духи Фаддеева — Попова в лоренц-
ковариантных калибровках). Пока р(р)^0, интеграл (3) не может убывать
быстрее, чем 1 Ik2 при ?2->-оо.
Мы можем увидеть это снова при изменении порядка суммирования, основанном
на «1/Л/»-приближении 3). Предположим, что гравитация связана с N типами
материальных полей с гравитационной константой G порядка 1 IN. Для
больших N доминирующие диаграммы для полного пропагатора состоят из
цепочки петель типа собственной энергии, каждая цепочка построена из
одной петли линий материи и связана с голым гравитонным пропагатором.
(Два множителя \/VN, вводимые связыванием гравитона с каждой петлей
материи, сокращаются с множителем N от суммы всех типов полей в петле
материи, поэтому эти диаграммы имеют нулевой по-
*) Изменение порядка суммирования, которое могло бы исключить этот полюс,
было предложено в работе [75]. Аналогичная идея высказывалась Дезером
(Deser S., частное сообщение, 1978).
2) Вычитания могли бы понадобиться в дисперсионном соотношении для
пропагатора, но это сделало бы его асимптотическое поведение еще хуже,
чем (3).
3) Приближение «большого Л/» было развито в статистической физике в
работах [78—81] и в релятивистской квантовой теории поля в работах [82—
86]. Нефизические «тахионные» полюсы были найдены в некоторых теориях в
работах [87, 88]. Однако было указано, что эти полюсы отсутствуют в
устойчивых решениях теории [89]. Фиксированные точки в неперенормируемых
теориях поля были исследованы в приближении «большого N» в работе [90].
(3)
414
С. Вейнберг
рядок по 1 IN). Материально-петлевые графики логарифмически расходятся,
поэтому, чтобы сократить эти расходимости, мы должны добавить в
лагранжиан члены, пропорциональные VgR2 и Vи квадратичные части этих
членов должны быть просуммированы вместе с петлевыми членами для материи
во всех порядках. Когда это сделано, член 1/А2 в гравитонном пропагаторе
оказывается замененным на [91]
А-2 —? [А2 + G/VA4a In (А2/р2)]-1, (4)
где a — безразмерная постоянная и р, — точка перенормировки, которая
определяет значения f и Пропагатор убывает достаточно быстро при А->оо,
так что не появляется никаких новых ультрафиолетовых расходимостей в
графиках высшего порядка по 1 IN. Однако пропагатор (4) теперь имеет
особенность при комплексных значениях А2. Это, несомненно, нарушает наши
обычные представления об аналитичности, хотя не ясно, до какой степени
комплексные особенности такого сорта неизбежно ведут к конфликту с
