Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
являются ли два многосвязных четырехмерных многообразия гомеоморфными или
гомотопными. Такое положение представляется серьезным основанием для
того, чтобы ограничиться рассмотрением только односвязных многообразий.
Другим основанием может служить то, что многосвязное многообразие всегда
можно развернуть. Это может привести к некомпактному многообразию, но
следует ожидать, что его можно будет заключить в большой объем V так,
чтобы действие на единицу объема изменилось лишь незначительно.
В приближении стационарной фазы можно ожидать, что главный вклад в
интеграл по траекториям Z дадут метрики, близкие к решениям уравнений
Эйнштейна с A-членом. Из масштабного поведе-
VII. Интегралы по траекториям
403
ния действия следует, что для таких решений
Л = -8лcV-'\ /=-8-^\ (114)
где с — постоянная (положительная или отрицательная), которая зависит от
выбора решения и топологии, а действие / включает теперь Л-член.
Постоянная с имеет нижнюю границу —(*/,)'/*, которая соответствует ее
значению для S*. Верхний предел может быть установлен из формул (96) и
(97) для % и т. Для решений уравнений Эйнштейна с Л-членом они имеют вид
* = (С*ъе?аЬЫ + 4 A2) {g)4'd*x, (115)
(ff)*/.d*jf. (116)
Из (115) видно, что метрика может быть решением лишь при х>0-Однако для
односвязных многообразий это всегда верно, так как для них %=2+Вг, где
Вг— второе число Бетти. Комбинируя (115) и (116), получаем неравенство
2х~3|т|>^. (117)
Из формулы (115) можно видеть, что для больших чисел Эйлера справедливо
по крайней мере одно из следующих утверждений:
а) значение сг велико,
б) интеграл J CabcdCabcd(g)4td*x велик.
В первом случае постоянная с должна быть положительной (т. е. А должна
быть отрицательной), поскольку имеется ограничение на с снизу: —
(3/8Х)‘/*. Во втором случае должен быть велик тензор
Вейля. Как и в обычной общей теории относительности, это
при-
ведет к такому же эффекту схождения геодезических, к какому приводит
положительный тензор Риччи. Но между любыми двумя точками в пространстве
должна быть геодезическая минимальной длины, которая не содержит
сопряженных точек. Следовательно, для того, чтобы кривизна Вейля не
приводила к слишком быстрому схождению геодезических, нужно ввести
отрицательный тензор Риччи и A-член порядка —CabcdCabtdL%, где L —
некоторый типичный масштаб длины порядка К1/‘Х~,/*, т. е. порядка длины,
приходящейся на «единицу топологии». Тогда следует ожидать, что два члена
в (115) будут сравнимы по величине, а с будет порядка d%4,t где 3/4.
Это подтверждается рядом примеров, за которые я благодарен Н. Хитчину.
Для произведений двумерных многообразий постоянной кривизны имеем d= 1/4.
Для алгебраических гиперповерхностей d=\f2/8. Хитчин получил все
семейство решений, лежащих между этими пределами. Если, кроме того,
решение допускает келерову
14*
404
С. Хокинг
структуру, то имеет место равенство
Зт + 2Х = 32с*. (118)
Этим результатам можно дать такую интерпретацию: мы имеем набор
«гравитационных инстантонов», число которых порядка %, а действие каждого
порядка L\ где L — характерный размер порядка V'u%~4*- Мы должны также
оценить зависимость однопетлевой кривой Zg от Л и х- Зависимость от А
получается из масштабного поведения и имеет вид
гш~ A-v,
где
V = I(wC^C“^ + BJ|rA*) (119)
Постоянную у можно считать числом добавочных мод, обусловленных
возмущениями фоновой метрики, превышающими уровень возмущений для
плоского пространства. Из формулы (119) можно увидеть, что у того же
порядка, что и %. Поэтому каждому «ин-стантону» можно приписать некоторое
число добавочных моД1.
Все вышеизложенное, по-видимому, дает основания для следующей оценки:
Z [Л] =(?)"* ехр (^Л-»), (120)
где b=8nd2, а Л0 связано с нормировочной постоянной р,. Учитывая (120) в
выражении (113), можно точно вычислить контурный интеграл и получить
M(y) = A?(^)1_v/2/Y_1 , (121)
где V^O.
Однако качественная зависимость от параметров видна более ясно при
приближенном вычислении (113) методом стационарной фазы. Действительно,
производить более точное вычисление выражения (113) неразумно, так как
ZIA] мы вычисляли лишь в приближении стационарной фазы. Точка
стационарности фазы определяется равенством
д Т±(Т*+^Х/2л)’/‘ (122)
S у
Поскольку контур должен проходить справа от сингулярности при А=0, перед
квадратным корнем следует взять знак плюс.
Значение Л, соответствующее стационарной Лазе, всегда положительно,
несмотря на то, что вычисление Z[Aj производилось с использованием
фоновых метрик, для которых Л были отрицательны при больших числах
Эйлера. Это означает, что мы должны аналитически продолжить Z от
отрицательных значений Л к положительным. Это аналитическое продолжение
эквивалентно умножению
VII. Интегралы по траекториям
405
метрики на чисто мнимый конформный множитель, который так или иначе нужен
для того, чтобы сделать интеграл по траекториям сходящимся по конформным
множителям.
Из приближения стационарной фазы имеем
