Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
[401. При этом подходе пространственно-временное многообразие разлагается
на симплициальный комплекс. Каждый 4-симплекс берется плоским и
определяется длинами его ребер (т. е. 1-симплексов). Однако углы между
гранями (т. е. 2-симплексами), вообще говоря, таковы, что 4-симплексы
нельзя собрать в плоское четырехмерное пространство. Таким образом,
имеется дисторсия, которая может быть представлена как б-функции по
кривизне, сконцентрированные на гранях. Полное действие равно (—
1/8л)ЕА(бь сумма берется по всем 2-симплексам, причем At— площадь t'-ro
симплекса, а б(— угловой эффект при этом симплексе, т. е. 6j равен 2л
минус сумма углов между теми 3-симплексами, которые связаны данным 2-
симплексом.
VII. Интегралы по траекториям
401
Комплекс, в котором действие стационарно при малых вариациях длин ребер,
можно рассматривать как дискретную аппроксимацию к гладкому решению
уравнений Эйнштейна. Однако на исчисление Редже можно также смотреть как
на определение действия для определенного класса метрик без какого-либо
приближения. Это действие останется корректно определенным и конечным,
даже если длины ребер будут выбраны так, что некоторые из симплексов
стянутся в симплексы меньших размерностей. Например, если а, Ь, с — длины
сторон треугольника (2-симплекса), то они должны удовлетворять
неравенствам а<Ь-\-с и т. д. Если а=Ь+с, этот 2-сим-плекс стягивается в
1-симплекс. В общем случае симплициальный комплекс перестает быть
многообразием, если некоторые из его симплексов стягиваются до меньших
размерностей. Однако действие по-прежнему хорошо определено. При этом мы
можем «раздуть» некоторые из симплексов так, чтобы получилось новое
многообразие с иной топологией. Таким способом можно непрерывно
переходить от одной метрической топологии к другой.
Отсюда возникает идея, что могут быть квантовые флуктуации метрики не
только в пределах отдельно взятой топологии, но и от одной топологии к
другой. На эту возможность впервые указал Уилер [45], который выдвинул
гипотезу, что в масштабах планковской длины пространство-время может
иметь «пеноподобную» структуру. В следующем разделе я попытаюсь изложить
математический аппарат для описания этой пеноподобной структуры.
Существует надежда, что при рассмотрении метрик всех возможных топологий
будет обнаружено, что классические решения в некотором смысле плотны в
пространстве всех метрик. Тогда можно надеяться представить интегралы по
траекториям как суммы фоновых и однопетлевых членов для этих решений.
Можно было бы также рассчитывать на выделение некоторого конечного числа
решений, которые дают главный вклад.
10. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ПЕНА
Итак, мы хотели бы знать, какие топологии метрик, обеспечивающих
стационарность фазы, дают главный вклад в функциональный интеграл. Для
этого удобно рассмотреть интеграл по траекториям по всем компактным
метрикам, при которых пространственно-временной объем имеет данное
значение V. Это не означает, что мы в самом деле считаем пространство-
время компактным. Мы лишь пользуемся общепринятой схемой нормировки типа
периодических граничных условий в обычной квантовой теории поля: сначала
мы работаем с конечным объемом, чтобы иметь конечное число состояний, а
затем рассматриваем значения различных величин в пересчете на единичный
объем в пределе, когда объем устремляется к бесконечности.
Чтобы рассматривать интеграл по траекториям по метрикам с данным
четырехмерным объемом V, в действие вводится член ЛУ/8л,
14 ль 1230
402
С. Хокинг
где А нужно понимать как множитель Лагранжа (коэффициент 1/8л взяг для
удобства). Этот член имеет такой же вид, как космологический член, но
мотивировка его введения и его численное значение совершенно иные: из
наблюдательных данных следует, что любое космологическое А должно иметь
столь малое значение, что практически им можно пренебречь, тогда как
значение множителя Лагранжа оказывается очень большим — порядка 1 в
планковских единицах.
Пусть
Z [А] = J D И ехр (- 7 [g\- А у [g]), (Ш)
где интеграл берется по всем метрикам на некотором компактном
многообразии. ZIA] можно интерпретировать как «статистическую сумму» для
того, что я буду называть объемным каноническим ансамблем, т. е.
2[Л] = ?(фв|ехр(-^)|Фв), (112)
П '
где сумма берется по всем состояниям |ф„> гравитационного поля. Зная
Z[A], можно вычислить N(V)dV — число гравитационных полей с 4-объемами
между V и V+dV:
100
N<y)=iek \z [д] ехР т dA. (i i3)
— I 00
В выражении (113) контур интегрирования должен быть взят правее любых
сингулярностей Z[A] на мнимой оси.
Нам нужно сравнить вклады в N от различных топологий. Подходящей мерой
сложности топологии является число Эйлера 1. В случае односвязных
многообразий % и сигнатура т, по-видимому, характеризуют многообразие с
точностью до гомотопий и, возможно, до гомеоморфизмов, хотя это не
доказано. В случае многосвязных многообразий возможность классификации
отсутствует, так как нет никакого алгоритма для ответа на вопрос,
