Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
энергий. Основная идея метода ренорм-группы сводится к пониманию того,
что физическая величина R не может зависеть от произвольного выбора точки
перенормировки |х, в которой определяются связи, так что мы можем принять
за р. в (10) любое другое значение, и в частности р=?, при котором (10)
принимает вид
R — BDf (1, X, g(E)). (11)
Таким образом, не считая тривиального масштабного фактора Е°,
высокоэнергетическое поведение скоростей реакций зависит от поведения
связей g(p) при р->-оо.
Здесь имеется техническая деталь, которая заслуживает некоторого
пояснения. В набор параметров связи gi (р) входят массы частиц т(р) с
размерностью d=+1. Соответствующие безразмерные параметры (9) имеют вид т
(р)/р, и разумно было бы ожидать, что они стремятся к нулю 2) при р—>-оо.
Однако скорости реакций будут вообще содержать особенности при нулевой
массе, соответствующие инфракрасным расходимостям, присутствующим в без-
массовой квантовой теории поля. Поэтому невозможно оценить
высокоэнергетическое поведение произвольных скоростей реакций, просто
полагая массы равными нулю. Именно по этой причине метод ренорм-группы
исторически был использован для вычисления высокоэнергетнческого
поведения функций Грина вдали от массовой поверхности, где никакие
инфракрасные расходимости не встречаются даже для нулевой массы. Однако
массовые особенности могут
*) См. примечание на с. 410.
2) Условие тою, что т(р)/р должно обращаться в нуль для р—»-оо,
обсуждается в работе [116].
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
419
быть устранены из самих скоростей физических реакций путем выполнения
соответствующего суммирования по определенным наборам начальных и
конечных состояний [117—119]. В дальнейшем мы будем подразумевать, что
это сделано.
Мы делаем здесь акцент на скорости реакций, а не на функции Грина вне
массовой поверхности, и это имеет очень важное преимущество. Матричные
элементы на массовой поверхности и скорости реакций не зависят от того,
как определяются поля, поэтому они являются функциями только
«существенных» параметров связи, т. е. тех комбинаций параметров связи в
лагранжиане, которые не меняются, когда мы подвергаем поля точечному
преобразованию (как, например, ф-*-ф-\-ф2 для скалярного поля <р).
Напротив, функции Грина вне массовой поверхности, конечно, отражают
определение рассматриваемых полей и будут потому функциями всех
параметров связи в лагранжиане, включая те «несущественные» параметры
связи (типа перенормировочных констант поля г), которые не являются
инвариантами при переопределении полей. Здесь всегда будет
подразумеваться, что g, (p.) включают только существенные параметры связи
теории.
(Имеется известный тест, который может быть использован для идентификации
несущественных параметров связи в любой теории. Когда мы изменяем какой-
нибудь неперенормированный параметр связи Yo на бесконечно малую величину
е, весь лагранжиан изменяется на
Предположим, что мы пытаемся осуществить это изменение простым
переопределением полей
Таким образом, изменение 6J?=edJ?/dy0 в лагранжиане может быть
осуществлено переопределением полей, если и только если мы можем найти
функции полей Fn и их полные производные, такие, что
?,.(*)—'Фп М + ЗцФ(*). •••)•
Изменение, вносимое при этом в 3?, имеет вид
П
П
F„ + члены с полными
производными.
..) + члены с полными производными.
Другими словами, параметр связи у0 является несущественным, если и только
если дЗР/дуо обращается в нуль или является полной
420
С. Вейнберг
производной, когда мы используем уравнение Эйлера — Лагранжа п дХ л дХ ,
» д(а^п)+
Например, в перенормируемой теории скалярного поля с лагранжианом
2 = - ^ Z (д^фдЧ + т2ф2)—~ Игф*
перенормировочная константа поля является несущественной связью,
поскольку мы можем написать
Щ-=у * (?* ф—т*Ф —г —j
и первый член обращается в нуль, когда мы используем полевое уравнение
\УФ = т2Ф-\-\'Х^ф3.
С другой стороны, ни масса т, ни связь к, ни любая комбинация т и к не
являются несущественными. В этом примере переопределение поля ф-^ф+eF,
связанное с единственной несущественной связью Z, является простым
изменением масштаба с Рогф, но это именно потому, что от теории
требуется, чтобы она была перенормируемой; более сложные преобразования с
F, являющейся нелинейной функцией ф и ее производных, порождали бы
неперенормируемые члены в 2. В неперенормируемых теориях мы должны
рассматривать все возможные переопределения полей, совместимые с их
свойствами симметрии, и в результате имеется бесконечное число и
несущественных и существенных связей.)
Как мы увидим, работая только с существенными связями, можно
сформулировать условие асимптотической безопасности в сжатом виде. Кроме
того, оно хорошо стыкуется с «методом фонового поля» [120—125], в котором
перенормировка параметров связи устанавливается вычислением матричных
элементов между «in» и «out» вакуумами в классическом фоновом поле,
которое удовлетворяет полевым уравнениям Эйлера — Лагранжа.
