Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
элементарных частиц Гелл-Манном и Лоу 121]. Похожие идеи обсуждались
также Штюк-кельбергом и Петерманом [22]. Относительно приложений к теории
критических явлений см. работы [23 — 28].
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
411
Это, конечно, возможно для обычных симметрий. Если симметрии допускают
построение набора инвариантных взаимодействий то мы можем построить
бесконечное число других дозволенных взаимодействий, образуя произведения
Vg^i-Sfj, Vg3?jS?k и т. д., и можно ожидать появления любой из
бесконечного числа соответствующих ультрафиолетовых расходимостей.
Однако возможно, что симметрии теории не допускают построение любого
инвариантного взаимодействия, а допускают только такие взаимодействия Vg-
S’i, вариации которых бV gJ?i под действием преобразований группы
симметрии являются полными производными. Тогда вклады этих взаимодействий
^dAxVg^i в действие инвариантны, поэтому они являются допустимыми
взаимодействиями. Однако вариации в произведениях У g3?t??у, Vg??(З?н и
т- Д- не являются, вообще говоря, полными производными, поэтому эти
взаимодействия могут оказаться запрещенными симметриями теории, и
соответствующие ультрафиолетовые расходимости не будут появляться.
Наиболее интересные примеры теории этого типа даются теориями
суперсимметрии 1), в которых частицы с различными спинами соединяются в
неприводимых представлениях. Лагранжиан не является фактически
инвариантом относительно преобразований суперсимметрии, а служит
отдельным членом супермультиплета, который преобразуется в полную
производную. Суперсимметрия налагает такие жесткие условия на лагранжиан,
что в некоторых теориях «супергравитации»2) [10] не имеется никаких
допустимых взаимодействий такого вида, который был бы необходим для
сокращения расходимостей в диаграммах с одной или двумя петлями 3); в ре-
х) Суперсимметрия была введена Вессом и Зумино [29 — 31]. Аналогичные
идеи разрабатывались также Гольфандом и Лихтманом [32] и Волковым и
Акуловым [33]. Формулировка «суперпространства» была дана в работе [34]
(обзор см. [35]).
2) «Супергравитация» является суперсимметричной теорией мультиплета,
состоящего из гравитона плюс безмассовой майорановской частицы спина 3/2.
Она была введена в работах [36, 37]. Обзоры с обсуждениями теорий
«расширенной супергравитации» см. в работах [38 — 40]. Относительно
теорий супергравитации, основанных на обобщениях лагранжиана VgR2, см.
[41, 42].
3) Сокращение некоторых расходимостей в глобально-суперсимметричных
полевых теориях материи было отмечено в неопубликованной работе Ли
(цитируется в [43—45]). Сокращение расходимостей в гравитационных
функциях Грина в теории суперсимметричных материальных полей было
отмечено Зумино [46]. Это позволяет предположить, что суперсимметричная
теория гравитации могла бы быть перенормируемой (см. [47]). Сокращение
однопетлевых расходимостей в теории чистой супергравитации было отмечено
в работах [48—51]. Однопетлевые расходимости в теориях с
супергравитацией, связанной с материей, были найдены в точных вычислениях
[52] и объяснены в общем виде в работе [53]. Однако конечность
одиопетлевых графиков для О (л)-расширенной супергравитации была показана
в работе [54] для л=2, в [55] — для л=3 и л=4 и в [56] — для л=8. В
двухпетлевом порядке было показано, что чистая супергравитация свободна
от
412
С. Вейнберг
зультате в этих теориях не встречается никаких ультрафиолетовых
расходимостей в низших порядках теории возмущений. Однако пока нет
оснований ожидать, что эта теория не будет содержать бесконечного числа
допустимых взаимодействий, которые нужны в качестве контрчленов в высших
порядках теории возмущений.
б. Пересуммирование
Сохранилась надежда, что неперенормируемая теория могла бы быть сделана
эффективно перенормируемой перераспределением членов ряда теории
возмущений *). Некоторые бесконечные подгруппы графиков были бы
просуммированы в первую очередь, и если бы эти суммы достаточно быстро
стремились к нулю при больших моментах, они могли бы использоваться в
качестве строительных блоков в новом наборе фейнмановских правил с лучшей
сходимостью. Однако трудно показать, что такое изменение порядка
суммирования ведет к более надежному ряду теории возмущений, или в
действительности найти ему оправдание в каких-нибудь соображениях,
отличных от соображений, связанных с исключением ультрафиолетовых
расходимостей. На самом деле, во многих случаях мы можем непосредственно
видеть, что члены конечного порядка содержатся в пересуммированном ряду
возмущений, и это, по-видимому, относится к нефизическим особенностям.
Наиболее простой пример такого типа пересуммирования в квантовой теории
гравитации дает теория, основанная на лагранжиане 2)
^ = ~Тб)fiVe*-fVgRt-rVlRvR'>\ (1)
Действуя обычным образом, нужно было бы рассматривать два последних члена
в качестве возмущения и разлагать в ряды по степеням /, f, а также G. На
этом пути, конечно, встретились бы ужасные ультрафиолетовые расходимости,
