Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
траекториям был взят по квадратичным членам, а членами более высокого
порядка мы пренебрегли. В перенормируемых теориях, таких, как квантовая
электродинамика, тео-
VII. Интегралы по траекториям
399
рия Янга — Миллса, Хф*, с помощью дифференциального оператора А,
присутствующего в квадратичной («свободной») части действия, можно
вычислить и эти члены более высокого порядка (члены «взаимодействия»). Их
вклад можно представить диаграммами Фейнмана с двумя или более замкнутыми
петлями, где линии диаграмм соответствуют пропагатору или функции Грина
Л-1, а вершины — членам взаимодействия, скажем кубичным, если в вершине
сходятся три линии, и т. д. В этих перенормируемых теориях неопределенные
величины, возникающие при регуляризации петель второго и более высокого
порядков, оказываются связанными с неопределенной нормировочной величиной
р, для одной петли. Поэтому все эти величины могут быть включены в
переопределение постоянной взаимодействия и каких-либо масс,
присутствующих в теории.
В квантовой гравитации ситуация совсем иная. Однопетлевой член
относительно плоской или топологически тривиальной вакуумной метрики не
содержит нормировочной постоянной р. Но в окрестности топологически
нетривиального фона мы получаем In Zg, пропорциональный (106/45)х In р,
где Zg— однопетлевой член, а X — число Эйлера. Это можно представить как
добавление к действию эффективного топологического члена —&(р)х. гДе —
масштабно-неинвариантная топологическая постоянная связи. Вообще говоря,
мы не можем обеспечить такую же топологическую интерпретацию для
зависимости от р однопетлевого члена относительно фоновой метрики,
которая является решением полевых уравнений с ненулевыми материальными
полями. Однако это может быть сделано в специальном случае, когда
материальные поля связаны с гравитационным полем локальной
суперсимметрией или зависящими от спиноров калибровочными
преобразованиями. Таковы различного рода теории супергравитации и
расширенной супергравитации [4, 15].
Двухпетлевые члены в супергравитации и, возможно, также в чистой
гравитации, по-видимому, не вносят каких-либо дополнительных
неопределенных величин. Но кажется весьма вероятным, что и в
супергравитации, и в чистой гравитации в трехпетлевых и более высоких
приближениях возникнут добавочные неопределенности, хотя вычисления,
необходимые для выяснения этого, столь громоздки, что никто не пытался их
проделать. Даже если каким-то чудом никаких добавочных неопределенностей
в многопетлевых членах не возникнет, у нас все же не будет разумной
процедуры для вычисления интеграла по траекториям, так как разложение по
возмущениям в окрестности заданного фонового поля в теории гравитации
имеет весьма узкие рамки применимости в отличие от перенормируемых теорий
вроде теории Янга — Миллса или Хф4. В последней теории квадратичный
(«свободный») член в действии
^ (ДФ)гй*х ограничивает член «взаимодействия» X $ Ф4с1*х. Это озна-
400
С. Хокинг
чает, что среднее значение члена взаимодействия может быть вычислено по
мере?>[ф] ехр(— J (АФ)-с1*х) или, иными словами, с помощью диаграмм
Фейнмана, в которых линии соответствуют свободному пропагатору.
Аналогично и в квантовой электродинамике или теории Янга — Миллса член
взаимодействия только третьего или четвертого порядка по полям и
ограничен свободным членом. В гравитационном же случае разложение Тейлора
в окрестности фоновой метрики содержит члены взаимодействия всех порядков
по возмущениям метрики и квадратичные члены по производным этих
возмущений. Эти члены взаимодействия не ограничены свободным квадратичным
членом, поэтому их средние значения по мере, заданной этим квадратичным
членом, не определены. Иными словами, изображать их диаграммами Фейнмана
высших порядков не имеет никакого смысла. Это не будет сюрпризом для тех,
кто работает в классической теории относительности, а не в квантовой
теории поля. Мы знаем, что объект, подобный черной дыре, нельзя
представить в виде возмущения плоского пространства.
В классической общей теории относительности проблему ограниченной
применимости теории возмущений можно пытаться решать путем подбора
асимптотических разложений относительно различных фоновых метрик. Поэтому
представляется естественным попытаться проделать нечто подобное в
квантовой гравитации. Для того чтобы гарантировать калибровочную
инвариантность, ио-видимому, необходимо, чтобы эти фоновые метрики были
решениями классических уравнений поля. Насколько нам известно, при
заданной топологии и заданных граничных условиях имеется только одно
решение полевых уравнений или в крайнем случае такие решения составляют
конечномерное семейство. Следовательно, решения заданной топологии не
могут быть плотны в пространстве метрик этой топологии. Однако
эйнштейновское действие в отличие от янг-миллсовского, по-видимому, не
приводит к какому-либо барьеру в переходах между полями разной топологии.
Одним из путей убедиться в этом является использование исчисления Редже
