Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
8лпМ2, так что каждое НУТ и антиНУТ дает вклад 4лМ2.
Теперь я перейду к положительно-определенным метрикам, которые являются
решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях без
края.
Простейшим примером служит S4 с метрикой, индуцированной вложением этого
многообразия как сферы радиуса (ЗЛ-1)'/« в пятимерное евклидово
пространство. При этом мы имеем аналитическое продолжение пространства де
Ситтера [19]. Метрика может быть выражена через вектор Киллинга д/дт:
ds* = (1 — ± Лг8) dx8 + (1 — 4- Лг8) _1dr8 + гг dQ8. (94)
Она содержит сингулярность типа горизонта при г=(ЗЛ_1)‘/*. Фактически это
двумерная сфера площади 12лЛ-1, которая является геометрическим местом
нулей вектора Киллинга д/дх. Действие равно —ЗлЛ-1.
Можно также получить решения с черной дырой, которые асимптотически не
плоски, а деситтеровы. Простейшим из них является решение Шварцшильда —
де Ситтера [191. Соответствующая метрика имеет вид
ds8 = VdT8-f V-1 dr* + г1 <Й1\ (95)
где
У = 1 — 2Мг~* —5"Лг8.
Если Л<Г(9Л48)-1, то имеются два положительных значения г, при которых
У=0. Меньшее из них соответствует горизонту черной дыры, тогда как
большее аналогично «космологическому горизонту» в пространстве де
Ситтера. Кажущуюся сингулярность на каждом из горизонтов можно устранить
периодическим отождествлением по т. Но периоды, требующиеся для этих двух
горизонтов, различны, за исключением предельного случая Л= =(9М8)-1. В
этом случае многообразие представляет собой S8xS8 с метрикой прямого
произведения, а действие равно —2лЛ-1.
Можно получить также решение Керра — де Ситтера [19]. При мнимом моменте
количества движения метрика будет положительно определена для значений г,
лежащих между космологическим горизонтом и внешним горизонтом черной
дыры. Сингулярности типа горизонта снова можно устранить периодическим
отождествлением, и при специальном выборе параметров периоды будут
соизмеримы [38]. В этом случае мы получим метрику без
VII. Интегралы по траекториям
393
сингулярностей на 5г-расслоении над S3. При этом действие равно —0,9553
(2ЛЛ-1).
Можно получить и решения Тауба — де Ситтера. В дополнение к обычным
сингулярностям Тауба — НУТ они будут обладать еще космологическим
горизонтом. Все горизонты и сингулярности ди-раковской струны могут быть
устранены одновременно в том предельном случае, когда многообразие
представляет собой СР2 (комплексное двумерное проективное пространство с
обычной келеро-вой метрикой) [201. Действие равно —®/4лЛ-1.
Можно получить решения, являющиеся произведением двух двумерных
пространств постоянной кривизны [17]. О случае S2xS2 уже упоминалось, но
есть также тривиальный случай плоского тора Т2хТ2. В других примерах оба
пространства имеют жанры ^1>1 и g2>l и Л-член должен быть отрицательным.
Действие равно —(2л/Л)(?х— l)(g2— 1).
Наконец, для завершения этого каталога положительно-определенных решений
уравнений Эйнштейна нужно упомянуть КЗ. Это компактное четырехмерное
многообразие, которое может быть реализовано как поверхность четвертого
порядка в трехмерном комплексном проективном пространстве СР3-. Это
многообразие может быть снабжено положительно-определенной метрикой,
кривизна которой самодуальна, вследствие чего эта метрика будет решением
уравнений Эйнштейна с А=0 [46]. Более того, с точностью до отождествлений
КЗ является единственным компактным многообразием, допускающим
самодуальную метрику. Действие равно нулю.
Компактные четырехмерные многообразия обладают топологическими
инвариантами, которые могут быть представлены в виде интегралов от
кривизны:
*- Ш? J Robc<iR'feH*abel*cdeh [g)'Wx, (96)
Т1= Ш? S R°bc4Ra>Cdel ЫУ'&Х-, (97)
X есть число Эйлера данного многообразия и равно альтернированной сумме
чисел Бетти:
% = 50 — Bt ~\~Bt— B3-\-Bi. (98)
Число Бетти Вр есть число независимых замкнутых р-мерных поверхностей,
которые не являются границей какой-либо р+ 1-мерной поверхности. Оно
равно также числу независимых гармонических р-форм. Для замкнутых
многообразий Вп—ВА_р и B0—Bt = 1. Если многообразие односвязно, то
Bi=B3=0 и, следовательно, 7>2.
Сигнатура Хирцбруха т интерпретируется следующим образом: Вг
гармонических 2-форм можно разделить на В$ самодуаль-ных и В;
антисамодуальных 2-форм. Тогда т=В?—В{ опреде-
394
С. Хокинг
ляет гравитационный вклад в аномалию аксиального тока [10, 29, 30, 321.
Для 54 имеем /=2 и т=0; для СР2 /=3, т=1; для 52-расслое-ния над 5* %=4,
т=0; для КЗ х=24,т=16; для произведения двумерных пространств с жанрами
gi, gt имеем x=4(gi—1)(?2—1), т=0.
В некомпактном случае в формулах для хит имеются добавочные поверхностные
члены. Евклидово пространство и самодуаль-ное решение Тауба — НУТ имеют/—
1. т=0, а для решения Шварцшильда х=2, т=0.
8. ГРАВИТАЦИОННАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Как уже было объяснено в разд. 3, статистическая сумма
z=2exP (—
для системы с температурой 7’=р~1, находящейся в сферической полости
радиуса г0, задается интегралом по траекториям по всем метрикам, которые
