Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотически-свободная.
Но в искривленном пространстве Bt содержит члены, квадратичные по тензору
кривизны фонового пространства. Поэтому без предположения о том, что
гравитационное действие содержит члены, квадратичные по кривизне (что,
по-видимому, ведет к множеству проблем, включая отрицательность энергии,
уравнения четвертого порядка и отсутствие ньютоновского предела [42,
43]), нельзя устранить зависимость от р. Поэтому говорят, что гравитация
неперенормируема: при регуляризации теории появляются новые параметры.
Если бы мы попытались регуляризовать члены более высокого порядка в ряде
Тейлора относительно фоновой метрики, то пришлось бы ввести бесконечную
последовательность параметров регуляризации, значения которых не
фиксировались бы теорией. Однако в разд. 9 утверждается, что эти члены
высшего порядка не имеют физического смысла и следует рассматривать лишь
однопетлевые квадратичные члены. В отличие от теорий Янга — Миллса или
Хф* в теории гравитации есть естественный масштаб длины — планковская
масса. Поэтому представляется разумным взять нормирующий множитель р для
однопетлевого члена кратным планков-ской массе.
6. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЧЕРЕЗ ДЗЕТА-ФУНКЦИЮ
Чтобы регуляризовать детерминант оператора А с собственными значениями и
собственными функциями (Хп, фп}, построим из
VII. Интегралы по траекториям
383
собственных значений обобщенную дзета-функцию:
ы*) = 2>«‘5- (54)
Из разложения (50) можно видеть, что ? будет сходиться при Re s>2. Можно
аналитически продолжить С до мероморфной функции s с полюсами только при
s=2 и s=l. В частности, она регулярна при s=0. Формально имеем
(55)
Поэтому можно определить регуляризованное значение детерминанта оператора
А как
det А = ехр (— ^ (0)). (56)
Дзета-функция может быть связана с ядром F (х, х', t) уравнения
теплопроводности или диффузии
jt+AxF = 0, (57)
где Ах означает, что этот оператор действует на первый аргумент функции
F. При начальном условии
F (х, х’, 0) = б(х, х') (58)
функция F описывает диффузию по многообразию М в пятом измерении
параметра времени t от точечного источника тепла, находящегося в точке х'
в момент t=0. Это уравнение теплопроводности изучалось рядом авторов, в
том числе Де Виттом [6], Мак-Кином и Синджером [36] и Джилки [25].
Хорошее освещение этого вопроса можно найти в работе [24].
Можно показать, что ядро F(x, х', t) является гладкой функцией х, х' и t
при ?>0, если А — эллиптический оператор. При /-?0 для F (х, х', t)
имеется следующее асимптотическое выражение:
F(x, х', t)~ 2МВ“2, (59)
Л = 0
где снова Ьп — коэффициенты АМДВ, являющиеся скалярными полиномами по
метрике, кривизне и ее ковариантных производных вплоть до порядка 2п,
считая по производным метрики.
Функцию F можно представить через собственные функции и собственные
значения оператора А:
F (х, x',t) = 2 Ф» (*) <М*') exp (— Kat). (60)
Интегрируя по многообразию, получим
У (0 = JF (*. 0 igW'd'x = 2 ехР (— (61)
384
С. Хокинг
Дзета-функцию можно получить из Y (t) обратным преобразованием Меллина
СО
C(s) = TWIn°'S'ld'- (62)
О
Используя асимптотическое разложение для F, мы видим, что ?(s) имеет
полюс при s=2 с вычетом В0 и полюс при s=l с вычетом Вх. Должен бы быть
полюс и при s=0, но он компенсируется полюсом гамма-функции. Таким
образом, ?(0)=Вг. В определенном смысле полюсы при s=2 и s=l
соответствуют устранению расходимостей, возникающих из-за первых двух
членов в (50).
Если собственные значения известны точно, можно вычислить дзета-функцию и
оценить ее производную при s=0. В прочих случаях можно получить некоторую
информацию из асимптотического разложения ядра уравнения
теплопроводности. Предположим, например, что фоновая метрика умножена на
постоянный масштабный множитель: go=k2g0; тогда собственные значения Хп
без-массового оператора А будут равны Xn=k~2^n. Поэтому
Zx(s) = V2%a(s)
и
с;-(0) = 21п^(0)+^(0); (63)
следовательно,
In (det А) = —2? (0) In k + In (det A). (64)
Поскольку В2 и, следовательно, ?(0), вообще говоря, не равны нулю, мы
видим, что интеграл по траекториям не инвариантен относительно конформных
преобразований фоновой метрики даже при конформно-инвариантных операторах
А. Этот факт известен как конформная аномалия и возникает из-за того, что
при регуляризации детерминанта мы вынуждены вводить нормирующую величину
р размерности массы или обратной длины. Альтернативно можно было бы
сказать, что мера 0[ф]=Пр^«/„ не является конформно-инвариантной.
Дальнейшие сведения относительно регуляризации через дзета-функцию
детерминантов материальных полей можно найти в работах [17, 29, 30, 35].
Регуляризация через дзета-функцию однопетлевого гравитационного члена
относительно вакуумного фона была рассмотрена Гиббонсом, Хокингом и Перри
[23]. Я коротко изложу эту работу, обобщая ее так, чтобы включить Л-член.
Член, квадратичный по флуктуациям g относительно фоновой метрики go,
равен
1* ® =4 J ZabA°bcd2ed (goY^x, (65)
VII. Интегралы по траекториям
