Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
заряженного скалярного поля
380
С. Хокинг
нужно рассматривать Ф и аналитическое продолжение ф комплексно-
сопряженного к Ф поля как независимые поля. Тогда квадратичный член имеет
вид
/. [Ф. Ф] = у J ФАф(ёау/ч1*х. (44)
Если есть фоновое электромагнитное поле, то оператор А не будет
самосопряженным. Можно записать Ф через собственные функции сопряженного
оператора Af:
*='ЕУп*п- (45)
Тогда мера будет иметь вид
D [Ф, Ф] = П V?dyndyn. (46)
П '
Поскольку мы интегрируем по уп и уп независимо, получаем
Z* = (det \ (47)
Чтобы интегралы по траекториям применить к фермионам, спинор ф и его
независимый сопряженный спинор ф нужно считать антикоммутирующими
грассмановыми числами [1]. Для грассма-новой переменной х имеют место
следующие (формальные) правила интегрирования:
J dx = 0, ^ л: dJC = 1. (48)
Этого достаточно, чтобы определить все интегралы, поскольку х2 и более
высокие степени х равны нулю по свойству антикоммутации. Отметим, что из
(48) следует dy=a~xdx, если у=ах, где а — действительная постоянная.
Эти правила можно применить к вычислению интеграла по траектории по
ферми-полям фиф. Оператором А в этом случае будет обычный оператор Дирака
первого порядка. Если ехр(—/2) разложить в степенной ряд, то из-за
свойства антикоммутации останется лишь член, линейный по А.
Интегрирование по йф и dip дает
Zn =det(ip-M) . (49)
Таким образом, однопетлевые члены для ферми-полей пропорциональны
детерминанту их оператора, тогда как для бозонов они обратно
пропорциональны детерминантам.
Можно получить следующее асимптотическое разложение для числа собственных
значений N (X) оператора А со значениями
VII. Интегралы по траекториям
381
меньше к:
NW-jB'V + B^ + Bt + OiK-1), (50)
где Во, Ви Вг — коэффициенты Адамара — Минакшисундарама — Де Витта
(АМДВ), о которых упоминает Гиббонс [49]. Их можно представить в виде
вл=1ьмч**х,
где Ьп — скалярные полиномы по метрике, кривизне и ее кова-риантным
производным [25]. В случае скалярного волнового оператора А=—П+^+т2 они
равны
*|=Т5?<(1/6-6)Я-'и*). (52)
&2 = 2» №abCdRabc*-RabRab + (6-306ЮЯ+ у (6? - 1)2Я 2) +
+ 30m2 (1 — 6|) /? -f- 90т*). (53)
Когда имеется граничная поверхность дМ, отсюда возникают дополнительные
вклады в (50), включающие члены порядка к4'. По-видимому, это должно быть
дополнительным основанием для попыток отбросить граничные поверхности и
работать просто с замкнутыми многообразиями.
Из разложения (50) видно, что детерминант А, т. е. произведение его
собственных значений, сильно расходится. Чтобы получить конечный ответ,
мы должны регуляризовать этот детерминант, поделив его на произведение
собственных значений, соответствующих первым двум членам в правой
части (50) (и членам порядка
к'1', если они есть). Для этого существуют разные способы: раз-
мерная регуляризация [44], расщепление точек [8], регуляризация Паули —
Вилларса [47] и регуляризация через дзета-функцию [9, 29, 30]. Последний
метод представляется наиболее подходящим для регуляризации детерминантов
операторов на фоне искривленного пространства. Мы обсудим его в следующем
разделе.
Как для фермионных, так и бозонных операторов член В0 равен (лУ/16л2),
где V — объем многообразия в фоновой метрике, ал — число спиновых
состояний поля. Поэтому, если число бозонных и фермионных спиновых
состояний одинаково, ведущие расходимости в Z, порожденные членами В0,
взаимно сократятся в фермионных и бозонных детерминантах без
регуляризации. Если к тому же члены Bt сокращаются или равны нулю (что
имеет место для безмассовых конформно-инвариантных полей), то остающиеся
главные расходимости взаимно сокращаются между бозонами и фермионами.
Такая ситуация имеет место в теориях с суперсим-
382
С. Хокинг
метрией типа супергравитации [5, 14] или расширенной супергравитации
[12]. Это может служить достаточным основанием для того, чтобы серьезно
относиться к этим теориям, в частности к связи материальных полей с
гравитацией.
Независимо от того, взаимно сокращаются или устраняются регуляризацией
сингулярности, возникающие от В0 и Ви остающийся коэффициент В, будет,
вообще говоря, отличен от нуля, даже в супергравитации, если топология
пространства-времени нетривиальна [39]. Это значит, что выражение для Z
будет содержать конечное число (не обязательно целое) нескомпенсированных
собственных значений. Поскольку эти собственные значения имеют
размерность квадрата обратной длины, чтобы получить безразмерный
результат для Z, каждое из них нужно поделить на р2, где р — нормирующая
постоянная, или регуляризующая масса. Таким образом, Z зависит от р. Для
перенормируемых теорий, таких, как Хф4, квантовая электродинамика или
теория Янга — Миллса в плоском пространстве, коэффициент Вг
пропорционален действию данного поля. Это означает, что зависимость от р
можно включить в эффективную константу взаимодействия g(p), зависящую от
масштаба, в котором она измеряется. Если g(р)->-0 при р->-оо, т. е. для
очень коротких расстояний или высоких энергий, то говорят, что теория —
