Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
могут быть введены внутри границы дМ с топологией S2xS\ где S2—сфера
радиуса r0, а 51 — окружность длиной р. В приближении стационарной фазы,
описанном в разд. 5, преобладающий вклад вносят метрики, близкие к
классическому решению с данными граничными условиями. Одним из таких
решений будет плоское пространство, в котором по евклидовой координате
времени производится отождествление с периодом р. Топологически это
R3xSl. Действие фоновой метрики равно нулю, таким образом, она не дает
вклада в логарифм статистической суммы. Если пренебречь малыми
поправками, возникающими из-за конечных размеров полости, то можно точно
вычислить однопетлевой член Zg:
In (99)
Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепловых гравитонов
на фоне плоского пространства.
Метрика Шварцшильда при М=(8лТ)~1 представляет собой другое решение,
удовлетворяющее тем же граничным условиям. Это решение обладает
топологией /?2х52, и его действие /=Р2/16л= =4лЛ42. Однопетлевой член
пока еще не вычислен, но по масштабным соображениям, приведенным в разд.
6, он должен иметь вид
^1п(Й+/(ГоР_1)’ (100)
где постоянная р0 связана с нормировочной постоянной р. Если г„р-1>1, то
размеры полости много больше черной дыры и следует ожидать, что значение
/(r0P_J) приближается к значению для плос-
VII. Интегралы по траекториям
395
кого пространства (99). Поэтому функция / должна иметь вид
= (101>
По этой статистической сумме можно вычислить среднее значение энергии
<?>-Se,7(7.|lflJ—j,lnZ. (102)
ехр (— ($?„) ар
Применяя это выражение к вычислению вклада (—Р*/16л) в In Z от действия
решения Шварцшильда, мы получим <?>=M, как и следовало ожидать. Можно
вычислить также энтропию, которая может быть определена как
5 = —2р„1прв, (103)
где pn=Z~l ехр(—р?п) — вероятность того, что система находится в п-м
состоянии. Тогда
S = p <?> +InZ. (104)
Применяя эту формулу к вычислению вклада от действия для метрики
Шварцшильда, получим
5 = 4лМ2 = 1 Л, (105)
где А — площадь горизонта событий.
Это замечательный результат, так как он показывает, что в дополнение к
энтропии, возникающей от однопетлевого члена (ее можно рассматривать как
энтропию тепловых гравитонов на шварц-шильдовом фоне), черные дыры
обладают внутренней энтропией, возникающей от действия той метрики,
которая соответствует стационарности фазы. Эта внутренняя энтропия в
точности совпадает с энтропией, приписываемой черной дыре на основании
вычислений рождения частиц на заданном фоне и использования первого
закона механики черных дыр (см. [48, 491). Отсюда мы видим, что идея о
привнесении гравитацией в физику нового уровня непредсказуемости или
хаотичности подтверждается не только полуклассическим приближением, но и
подходом, в котором гравитационное поле квантовано.
Одной из причин, по которым классические решения в теории гравитации
обладают внутренней энтропией, а в теории Янга — Миллса или кф* не
обладают, является то, что действия этих теорий в отличие от
гравитационного действия масштабно-инвариантны. Если go— асимптотически-
плоское решение с периодом k$ и действием I [g0], то k2go — решение с
периодом /ф и действием k2f. Это значит, что действие / должно иметь вид
ср2, где с — постоянная, которая зависит от топологии этого решения.
Тогда <?>=2ф, р<?>= =2ф2 и в то же время In Z=—/=—ср2. Отсюда 5=сР?.
Причиной
396
С. Хокинг
того, что действие I равно 1/!р<?>, а не Р<?>, как следовало бы ожидать
для единственного состояния с энергией <?>, является отличие топологии
решения Шварцшильда от топологии периодически отождествленного плоского
пространства. Из того факта, что число Эйлера для решения Шварцшильда
равно 2, следует, что вектор Киллинга трансляции по времени д/дх должен
быть равен нулю на некотором множестве (в действительности на двумерной
сфере). Таким образом, поверхности постоянного т имеют две границы: одну
на поверхности сферической полости радиуса г0 и другую на горизонте
г=2Л1.
Рассмотрим теперь область шварцшильдова решения, ограниченную
поверхностями т=т1, т=та и (рис. 4). Амплитуда <та !ti> перехода от
поверхности тх к поверхности та определяется интегралом по траекториям по
всем метрикам, которые могут быть введены в пределах этой границы, причем
главный вклад вносит метрика,
Рис. 4. Плоскость (т, г) решения Шварцшильда.
Амплитуда <т*|т,> перехода с поверхности Tt к поверхности ТзТ|
определяется преимущественно действием заштрихованной части решения
Шварцшильда.
обеспечивающая стационарность фазы, а ею как раз и является часть решения
Шварцшильда, ограниченная этими поверхностями. Действие для этой метрики
стационарности фазы дают поверхностные члены, поскольку R—0.
Поверхностные члены для поверхностей т=т1 и т=та взаимно сокращаются.
Вклад поверхности г—г0 равен ЧгМ(т2—Tt), но, кроме того, будет также
вклад «угла» при г=2А1, где встречаются поверхности x=Xi и т=та, так как
вторая фундаментальная форма границы К ведет себя здесь как б-функция.
