Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
0=л. Эту сингулярность можно рассматривать как аналог дираковской струны
в электродинамике, возникающей при наличии монопольного магнитного
заряда. Такую сингулярность можно устранить путем введения новой
координаты
fwmt + 4Ыф. (86)
300
С. Хокинг
Тогда метрика принимает вид
ds2 =— V (dt' — bN cos2 + V1 dr2 + (г2 + W2)(d02 + sin20^2).
(87)
Она регулярна при 0=л, но сингулярна при 0=0. Следовательно, можно
использовать координаты (t, г, 0, Ф) для покрытия окрестности северного
полюса (0=0) и координаты (t', г, 0, Ф) для покрытия окрестности южного
полюса (0=л). Поскольку по Ф происходит отождествление с периодом 2л, из
формулы (86) следует, что по / и t' происходит отождествление с периодом
8лN. Поэтому если ф— регулярное поле с зависимостью от t вида ехр(—ia>t),
то со должна удовлетворять условию
4Мо равно целому числу. (88)
Оно является аналогом дираковского условия квантования и связывает
«магнитный» заряд N решения Тауба — НУТ с «электрическим» зарядом или
энергией о поля ф. Процесс устранения сингулярности дираковской струны
через введение координат tut' и периодическое отождествление превращает
топологию поверхностей постоянного г из S1XRx в S3; на них (t/2N), 0 и ф
— угловые координаты Эйлера.
Метрика (85) также имеет сингулярности при К=0 и У=оо. Как и в случае
Шварцшильда, К=оо соответствует неустранимой сингулярности кривизны, но
К=0 соответствует некоторому горизонту, и эта сингулярность может быть
устранена периодическим отождествлением мнимой координаты времени. Это
отождествление совместимо с тем отождествлением, которое устраняет ди-
раковскую струну, если оба периода равны, что имеет место при N—±iM. Если
это так, то при действительном М метрика действительна и положительно
определена в области г>М, а кривизна самодуальна или антисамодуальна:
Robed ~ dz*Rabed ~ i ~2 8abe/R^ cd• (89)
Кажущаяся сингулярность при г=М становится единственной точкой — началом
гиперсферических координат, в чем можно убедиться, вводя новые радиальные
и временные переменные
х = 2{2М(г-М)У\
ф = --“- (9°)
^ 2М
Метрика при этом принимает вид
ds* - (<1ф + cos 0 т + r-±^dx* + (d& + sin2
Ыфг).
(91)
VII. Интегралы по траекториям
391
Таким образом, многообразие, которое определяется условиями х>0, 0<ф<4л,
О<0<я, 0<ф<2л, причем чр, 0, ф интерпретируются как гиперсферические углы
Эйлера, топологически представляет собой R1 и обладает несингулярной
положительно-определенной метрикой. Эта метрика — асимптотически-плоская
в том смысле, что тензор Римана убывает как г-8 при /•-»-оо, но не
является асимптотически-евклидовой, поскольку для этого кривизна должна
быть пропорциональной г~1. Поверхности постоянного г топологически суть
S3, но их метрика — это метрика деформированной сферы. Орбиты вектора
Киллинга д/дф задают расслоение Хопфа л: 53->-5s, где S2 параметризуется
координатами 0 и ф. Индуцированная на S2 метрика будет метрикой двумерной
сферы радиуса (г2—Af2)1/*, тогда как слои будут окружностями длины
8лMV1!». Таким образом, граница при большом радиусе есть в некотором
смысле S1xSt, но является скрученным (twisted) произведением.
Имеется также возможность скомбинировать самодуальные решения Тауба — НУТ
[29, 30]. Причина состоит в том, что притяжение между массами
электрического типа Af уравновешивается отталкиванием между мнимыми
массами магнитного типа N. Соответствующая метрика имеет вид
dst = U~1(dx-\-<ii-dx)2 + U dxdx, (92)
где
J/-1+S> го*fD = &гас*U- (93)
Здесь гг — расстояние от i-ro решения НУТ в плоской трехмерной метрике
dx-dx. Операции rot и grad, как и вектор v, относятся к этой трехмерной
метрике. Для каждого решения НУТ Ni=iMt.
Векторные поля ю будут иметь сингулярности дираковской струны от каждого
решения НУТ. Если массы Mt все равны между собой, эти струнные
сингулярности и сингулярности типа горизонтов при Гг=0 все могут быть
устранены отождествлением с периодом 8лAf. Граничная поверхность при
больших радиусах будет при этом поверхностью, подобной линзе [41].
Топологически это поверхность S3 с отождествлением п точек в слое S1
расслоения Хопфа S3->-52, где п — число решений НУТ.
Эту граничную поверхность даже локально нельзя вложить в плоское
пространство, поэтому мы не можем получить поправочный член К° для
действия. Если пытаться «почти» вложить ее настолько, насколько это
возможно, то для действия получается значение 4ллА12, т. е. такое же, как
в случае Шварцшильда о /1=1 [4]. Фактически присутствие гравитационной
магнитной массы изменяет топологию пространства и не позволяет ей быть
асимптотически-плоской в обычном смысле. Но можно получить асим-
птотически-плоское пространство, содержащее одинаковое число
392
С. Хокинг
п решений НУТ (N=iM) и антиНУТ (N——iM). Поскольку решения НУТ и антиНУТ
взаимно притягиваются, они должны удерживаться на расстоянии друг от
друга электромагнитным полем. Такое решение будет фактически решением
Израэля — Вильсона [27, 33]. Гравитационная часть действия равна при этом
