Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 184

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 222 >> Следующая

385
где
«•*“«? +Я5*. (66)
16nAabed — -J gcdWaWb 4 SacVdWb + "g (SacSbd + SabScd) V«V*+
"4" ~2 ^adSbc ^ ^abScd “f" *jg RgabScd ~ "g” Rgacgbd "g” ^g abSс d 4*
+ j ^SacSbd + (cnr+b) + (c*-*d) + (air->b, c*-*d). (67)
Нельзя просто считать однопетлевой член равным (det(1/,я-1р-1Л ))*/»,
поскольку А имеет много нулевых собственных значений, соответствующих
тому факту, что действие не меняется при инфи-нитезимальном
диффеоморфизме (калибровочное преобразование)
ха—?х0 + е|°,
, о с (68>
Sab -^g0» + 2e?(a;6).
Было бы желательно отфакторизовать калибровочную свободу интегрированием
только по калибровочно-неэквивалентным возмущениям g. Тогда мы получили
бы результат, зависящий от детерминанта оператора А на множестве, которое
состоит из классов эквивалентности всех полей g относительно
инфинитезимальных калибровочных преобразований. Как это сделать, было
показано Фейнманом [13], Де Виттом [7] и Фаддеевым и Поповым [11]. В
действие добавляется член, фиксирующий калибровку:
// = yj gabBabcdgcd (goYWx. (69)
Оператор В выбирается так, чтобы при любых достаточно малых возмущениях
метрики g, удовлетворяющих требуемым граничным условиям, имелось бы
единственное преобразование ?°, которое обращается в нуль на границе и
удовлетворяет равенству
Babed(gcd + W'-«) = 0. (70)
Я буду пользоваться гармонической (по фоновой метрике) калибровкой
\ЬпВа^с(1 — gbd^с g”gcd^a^b~'8* gab^e^d’^'
+ jQgabgedn+(a<r4b) + (c<r*d) + (a<-*b, c+-*d). (71)
Оператор (A+B), вообще говоря, не имеет нулевых собственных значений.
Однако det {А-{-В) содержит собственные значения произвольно выбранного
оператора В. Чтобы скомпенсировать их, необходимо поделить его на
детерминант оператора В на подпространстве всех g, которые являются
чистыми калибровками,
<3 № 1230
886
С. Хокинг
т. е. имеют вид gab—2?(a:W при некотором обращающимся в нуль на границе.
Детерминант В на этом подпространстве равен квадрату детерминанта
оператора С на пространстве всех векторных полей, которые обращаются в
нуль на границе, причем
1блСо4 = — gab ? —/?а6. (72)
Таким образом, получаем
In Z ----/ Ы-т In det (-J- я-V* (А + В)) + In det (у V“2c).
(73)
Последний член представляет собой так называемый вклад «духов».
Для применения метода дзета-функции необходимо представить А+В как К—L,
где каждый из операторов К и L имеет только конечное число отрицательных
собственных значений. Для этой цели положим
A + B = — F + 0, (74)
где оператор
F l?(V0Ve + 2A) (75)
действует на след Ф метрики ?(т. е. Ф=ёаЬёоаь)> а оператор
Gabcd ~ "g" (SacSbd SadSbc) V V* 4" (Pdcab "4" ^ dbac) "4~ "g" ^gab^Cd
(76)
действует на бесследовую часть ф метрики g (ФаЬ =gab—1/*$ьФ).
Если А^О, то оператор F будет иметь только положительные собственные
значения. Таким образом, чтобы однопетлевой член был сходящимся, мы
должны интегрировать по чисто мнимым ф. Это соответствует интегрированию
по конформным множителям вида Я = 1-Н?. При А>0 оператор F будет иметь
некоторое конечное число р отрицательных собственных чисел. Поскольку
постоянная функция будет собственной функцией F с отрицательным
собственным значением (в случае когда нет границы), р по меньшей мере
равно единице. Для того чтобы однопетлевой член стал сходиться, мы должны
повернуть контур интегрирования коэффициента каждой собственной функции с
отрицательным собственным значением так, чтобы этот контур лежал вдоль
действительной оси. Это приведет к появлению множителя ip в Z.
Если фоновая метрика go плоская, то оператор G будет положительно-
определенным. Следовательно, интегрирование бесследо-вых возмущений Ф
будет происходить вдоль действительной оси. Это соответствует
интегрированию по действительным классам конформной эквивалентности.
Однако при неплоских фоновых метриках Ф может иметь некоторое конечное
число q отрицательных собственных значений из-за A-члена и тензора Вейля.
Мы снова
VII. Интегралы по траекториям
387
вынуждены повернуть контур интегрирования для этих мод (на этот раз от
действительной оси к мнимой); в результате этого в Z появится множитель
i~q.
Оператор «духов» равен
-^(V'V. + A). (77)
Если Л>0, то С будет иметь некоторое конечное число г отрицательных
собственных значений. Поскольку в Z появляется детерминант С, а не
квадратный корень из него, отрицательные собственные значения приведут к
множителю (—1)г.
Имеем
In Z = - / (0) +i- Со (0) - & (0) +
+ 4 In (2яр8) (С, (0) + и (0) - 2?с (0)). (78)
Из асимптотического разложения ядра уравнения теплопроводности необходимо
получить значения дзета-функций при s=0. Из результатов Гиббонса и Перри
[21] имеем
Ь(0) + Со (0)-2Cc(0)-j + (gt)'Wx. (79)
Отсюда можно вывести поведение однопетлевого члена при масштабных
преобразованиях фоновой метрики. Пусть ge e6=&'g0 аь> тогда
lnZ = lnZ-Hl-fe2)/[?0] + yYln*, (8°)
где у — правая часть равенства (79). В предположении, что I[goY^ ^Ю,
величина Z будет очень мала при больших масштабах, т. е. при больших k.
Тот факт, что у>0, означает, что эта величина мала также при очень малых
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed