Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
полевых уравнений, в частности в окрестности плоского пространства, лишь
при условии, что у взята чисто мнимой. Поэтому рецепт получения
сходящегося интеграла по траекториям состоит в разделении пространства
всех метрик на конформно-эквивалентные классы. В каждом классе
эквивалентности выделяется метрика g', для которой /?'= 0. Далее
проводится интегрирование по всем метрикам g=Q2g', где ?2 имеет вид 1
+(|; Затем проводится интегрирование по классам конформной
эквивалентности вблизи решений полевых уравнений, причем неконформные
возмущения должны быть чисто мнимыми для мод, при которых I1 убывает.
Похожая ситуация имеет место для компактных многообразий с A-членом. В
этом случае в действии нет ни поверхностного члена, ни требования ?2 = 1
на границе. Если g=S22g, то
? й = - ТбНо I (Q2/? + Ш^-оёаЬ ~ 2Л?2Ч Or)1/. d*x. (34)
Таким образом, квантовая гравитация с Л-членом на компактном многообразии
представляет собой нечто вроде усреднения теории кф1 по всем фоновым
метрикам. Но в отличие от обычной теории кф1 кинетический член (V^)a
присутствует в действии со знаком минус. Это значит, что по конформным
множителям нужно интегрировать в комплексном направлении, как и в
предыдущем случае.
Пространство всех положительно-определенных метрик g на многообразии Af
можно снова разбить на классы конформной эквивалентности. В каждом классе
эквивалентности действие будет
378
С. Хокинг
иметь один экстремум при нулевой метрике, для которой й=0. В общем случае
будет еще и другой экстремум при метрике g\ для которой /?'= 4Л, хотя в
некоторых случаях конформное преобразование g'=Q2g, где g—положительно-
определенная метрика, может потребовать комплексного множителя Q. Положив
?=(1+#)У. получим
= — ТбНо § (6У-°У^аЬ~8У*А~8У*А-2г/4Л)(g')v*d*x,
(35)
где V=l (gj'^x.
Если Л<0 и мы пренебрегаем членами третьей и четвертой степеней по у, то
приходим к сходящемуся интегралу по траекториям при интегрировании по
чисто мнимым у аналогично тому, как это происходило в предыдущем случае.
Поэтому представляется разумным следовать такому рецепту вычисления
интегралов по траекториям с Л-членом: в каждом классе конформной
эквивалентности выделяется метрика g’, для которой /?'=4А, и затем
производится интегрирование по конформным множителям вида й = -П-Н6 в
окрестности g'.
Если ЛХ), оператор —6Q—8Л, который действует на квадратичные по | члены,
обладает по крайней мере одним отрицательным собственным значением
?=const. На самом деле это, по-видимому, единственное отрицательное
собственное значение. Его смысл обсуждается в разд. 10.
б. ПРИБЛИЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Ожидается, что главный вклад в интеграл по траекториям вносят метрики и
поля, которые близки к метрике g0 и полям Ф0, определяющим экстремум
действия, т. е. к решениям классических уравнений. Пренебрегая на время
вопросом сходимости, можно разложить действие в ряд Тейлора в окрестности
фоновых полей go, Фо'-
I [#» Ф] = 11>0. Фо] + h [&» Ф] + члены высших порядков, (36)
где
ёаЬ = ёо аЬ 4“ ёаЬ, Ф = Фо + Ф и It lg, Ф) — член, квадратичный по
возмущениям g и ф. Если игнорируются члены высших порядков, интеграл по
траекториям имеет вид
In Z = - f[g0, ф„] + In J D [g, Ф] exp (- ^ [?, ф]). (37)
Это приближение называют по-разному: приближением стационарной фазы, ВКБ-
приближением или однопетлевым приближе-
УН. Интегралы по траекториям
379
нием. Первый член в правой части (37) можно рассматривать как вклад
фонового поля в In Z. Мы обсудим его в разд. 7 и 8. Второй член
называется однопетлевым членом и представляет собой вклад квантовых
флуктуаций относительно фоновых полей. Остающаяся часть настоящего
раздела посвящена изложению способа вычисления этого вклада. Для простоты
будет рассмотрен только случай, когда все фоновые материальные ф0 поля
равны нулю. Тогда квадратичный член /tig, Ф) можно представить как
/,[#]+/* 1ф) и
In Z = — / [g0] + In J D [Ф] exp (- It [Ф]) + In j D [?] exp (- /, [?]).
(38)
Сначала рассмотрим однопетлевой член для материальных полей, т. е. второй
член в правой части равенства (38). /а [ф] можно записать в виде
/.М = -^<МФ(? о)1'-**, (39)
где А —дифференциальный оператор, зависящий от фоновой метрики g0. В
случае бозонных полей, который будет рассмотрен первым, А есть
дифференциальный оператор второго порядка. Пусть {^п. Фп) — собственные
значения и собственные функции оператора А, причем в случае, когда есть
граничная поверхность, Ф„=0 на дМ. Собственные функции Ф„ можно
нормировать:
§ФпФт-(8о)'/'<1*х = (>пт. (40)
Произвольное поле Ф, которое обращается в нуль на дМ, можно
выразить в виде линейной комбинации этих собственных функций:
* = '?Уп*п- (41>
П
Подобным же образом меру в пространстве всех полей ф можно записать в
виде
Я[Ф] = П V-dyn, (42)
л
где р. — нормировочный множитель размерности массы или обратной длины.
Тогда однопетлевой член для материи можно представить как
Z* = JD[ф]ехр(-/,[Ф]) = П JУ-йУпexp ( —j Ку\) =
= n(2^*W*=(det (-‘-я-у-м))'7*. (43) В случае комплексного поля Ф типа
