Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинга В. -> "Общая теория относительности " -> 208

Общая теория относительности - Хокинга В.

Хокинга В. Общая теория относительности — М.: Мир, 1983. — 455 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayatepriyaotnositelnosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 222 >> Следующая

формулировке [1501 этого подхода набор D, состоял из единственной
физической размерности пространства-времени D=4; обобщение на несколько
D, представлено здесь потому, что оно не требует в сущности никакой
дополнительной работы и могло бы оказаться полезным.) Чтобы выразить
gi0(D) в терминах перенормированных параметров связи, которые являются
безразмерными для всех D, мы должны ввести единицу массы р и записать
разложение в ряд Лорана для масштабно-переопределенной связи gl0 (D)
\i~d‘tD) вместо обычной неперенор-мированной связи gi0(D). (Как обычно,
dt(D)— размерность gto(D) в степени массы при размерности пространства-
времени D.) Кроме полюсов при D—D, это разложение будет иметь остаточный
член, который аналитичен по D и который мы просто определяем как
безразмерную связь gt([i,D). Коэффициенты &{?} полюсов порядка v в gi0
(D))x~di(D) при D=D, будут зависеть от р. и D только через их зависимость
от перенормированной связи g, (р, D), поскольку не имеется никакого
размерного параметра, с которым можно было бы сравнить р, и поскольку
любая отдельная зависимость Ъ%\ от D меняла бы только аналитические члены
и полюсы более низкого порядка по D. Поэтому разложение в ряд Лорана
может быть записано в виде
gio iD) = g( (p, D) + 2 ? (D-Drvbv?(g(\i, D)). (36)
S V “ I
(Теперь мы опускаем тильду, использованную в разд. 3, чтобы отличить gi
(р, D) от обычной масштабно-переопределенной перенормируемой связи
gi(\l).)
Чтобы вычислить функции Гелл-Манна — Лоу pt(g. D), сначала дифференцируем
по р и находим
-di(D) [ft + 2 (D-DJ-Vte)' =
= P,(g. D)+ 2 (D-D,)-vbvl/<s’(g)Pi(g. °). (37)
s. v, i
где
Pi (g (I*. D), = Si 01» D) (38>
15*
436
С. Вейнберг
И
bvijs) (g)^dbv^(g)/dgj. (39)
Кроме того, мы запишем как функцию от всех gs (р, D), а также от D, но не
от р, поскольку здесь нет никакой размерной величины, с которой можно
было бы сравнить р.
Тогда размерность dt (D) величины gt0 всегда является линейной функцией
пространственно-временной размерности D, которую мы будем записывать как
1150]
di(D) = o, + plD. (40)
Левая часть (37) может быть теперь переписана в виде
— P&D- [°,-?,-+2М5)(?)Р;] ~
-2ф-я,)-ПрЛ+1..(,) te) + (tf,+pA)&v, (41)
S, V
где суммирование по v производится, как прежде, от 1 до оо. Поскольку
здесь наивысшей степенью D в аналитической части является первая степень,
то же самое должно выполняться и в правой части (37). Однако все полюсы
по D предполагаются исключенными, когда мы выражаем gi0 в терминах git
поэтому р? (g, D) должна быть аналитична по D. Чтобы аналитическая часть
выражения в правой части (37) не содержала членов выше первого порядка по
D, необходимо, чтобы р, (g, D) была линейна по D:
Р/(*. D)=P)1,(g)D+p)0) (g).
Приравнивание членов первого и нулевого порядка по D в (41) и правой
части (37) дает
-Р^ = Р<1,(?)-
- 2 Wg) Pi=рад+2 Ьи'Пё) Р Г (8).
s sf
И потому
Pi (ё, D) = - мР - o&i - 2 ЬгПё)Р1 + 2 Ьа'Пё)Pjgj ? (42)
S S/
Тот факт, что Pj-функции линейны по D, является и замечательным и
удобным; D-зависимость полностью обусловлена членом —dt (D)gt в рг, и
петлевые вклады в (20) являются D-независимыми.
(Следует упомянуть, между прочим, что сравнение полюсных членов в (37)
ведет к дополнительным соотношениям [150], которые определяют bv\s) для
v>l в членах b^s). Используя (42), можно привести правую часть (37) к
виду
- PtgP—Otgt—'E Ьи' (ё) Р/ +
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
437
Сравнивая полюсные члены с соответствующими членами в (41), получаем
рекурсивные соотношения
РA+i.‘fs)(g)—2 PygA+i. iT(g)=
i
=—(<7, +PiDt)6vi%)-2 bvlts)(g)fij(g, Ds) для всех v>l.) (43)
/
Дальнейшая полезная информация относительно функций вычетов может быть
получена из размерных соображений. Одна из особенностей размерной
регуляризации состоит в том, что полюсы в функциях Грина возникают только
из логарифмических ультрафиолетовых расходимостей, а не из квадратичных
или более высоких расходимостей. Однако логарифмическая расходимость
может появиться в данной величине, только если размерность этой величины
точно равна размерности констант связи, которым эта величина
пропорциональна. Отсюда следует, что b\s)(g) может содержать член порядка
gagbgc--- . только если размерность gi0 равна полной
размерHOCTHge0gb0gc0... при пространственно-временной размерности
Ds:
dl(D,) = da(Ds) + db(Ds)+ .... (44)
Из (42) видно, что то же самое верно для ?>8-членов в Pj. Например, в
евклидовой скалярной полевой теории с симметрией относительно
преобразования Ф-*~—Ф обычный лагранжиан есть
J?=—Jд„фдllф—YgioФi — ?ifgгoФ4—(|fgaoФв—$fg4oФl^ •••• (45)
(Мы используем нашу свободу выполнять точечные преобразования с бф в виде
линейной комбинации Ф, Ф3, ПФ, Ф?, Ф*ПФ, (134Ф и т. д., чтобы исключить
такие члены, как Ф3ПФ, (ПФ)4, Ф5ПФ, Ф4(ЩФ)4, (? 2Ф)4 и т. д., и чтобы
привести коэффициент при —‘/адцФ^цФ к единице.) В четырех измерениях gt0
имеют размерности
d1 = 2, d, = 0, dg = —2, d4 4...................... (46)
Предыдущая << 1 .. 202 203 204 205 206 207 < 208 > 209 210 211 212 213 214 .. 222 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed