Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
числа) ортогональных конечномерных пространств, в каждом из которых
действует неприводимое представление.
(в) Сохраняются соотношения ортогональности для неприводимых
представлений, т. е.
если только рассматриваемые два представления не эквивалентны. (В силу
унитарности здесь uqp(g~l) = = upq{g)-) Кроме того,
(г) Существует "достаточно много" неприводимых представлений в том
смысле, что если f(g) -произвольная непрерывная функция на G, то ее можно
равномерно аппроксимировать линейными комбинациями функций и{[1 (g). Этот
факт составляет содержание теоремы Петера - Вейля, частным случаем
которой (для случая когда G - группа вращений окружности) является
теорема Вейерштрасса.
Из сказанного выше, в частности, следует, что если представление U(g) не
единичное, то
| ufi {§) ig) d§ = о,
G
G
О в противном случае.
j ",/ (g) dg = 0.
G
9.2. Центральная предельная теорема
Рассмотрим единичный вектор х трехмерного пространства. Будем подвергать
его в последовательные моменты времени случайным вращениям, каждое из
9.2. Центральная предельная теорема 59
которых выбирается независимо от остальных в соответствии с некоторым
заданным на группе вращений 0+(3) распределением вероятностей1). Таким
образом, в момент t мы получим вектор
Аа) х = AtA^j .. . А2А:х.
Нахождение предельного распределения вектора А^х при t-* оо и
произвольном х, очевидно, эквивалентно нахождению предельного
распределения самой матрицы Как и раньше, предположим, что носитель
вероятностной меры на группе вращений не содержится ни в каком
собственном (т. е. отличном от всей группы) замкнутом нормальном
делителе, пи в классе смежности по такому делителю. (Под носителем мы
понимаем такое множество вращений, всякая окрестность точки которого
имеет положительную меру, т. е. "наименьшее множество вращений,
получающееся при исключении вращений, которых не может быть".) Точно так
же, как и в случае, рассмотренном в разделе 3.2, здесь можно показать,
что предельным распределением для AW будет мера Хаа-ра на группе
вращений. Получающийся отсюда результат представляет собой одну из форм
центральной предельной теоремы.
Предельное распределение можно описать следующим образом. Рассмотрим
вращение как поворот ортогональных осей некоторой прямоугольной системы
координат. Введем в качестве координат на группе углы Эйлера фц 0, ф2,
где
ф! - угол, на который должна быть повернута ось х, чтобы она совпала с
линией пересечения первоначальной плоскости (х, у) с новым положением
этой же плоскости после поворота,
ф2 - угол между этой линией пересечения и новым положением оси х,
0 - угол между новой и старой осями г.
') Под группой вращений 0+(N) мы понимаем здесь связную компоненту
ортогональной группы, содержащую единичную матрицу, т. е. множество всех
ортогональных матриц с определителем, равным единице.
60 10.1. Конечномерные представления классических групп Ли
Первые два угла меняются между 0 и 2л, а третий - между 0 и я.
Инвариантное интегрирование функции f(g) задается в этих координатах
формулой
я 2Я 2я
J f (g) dg = -g^ J J J f (0, ф!, ф2) sin 0 dQ dtfi dq>2.
о 0 o'
10.1. Конечномерные представления классических групп Ли
Все неприводимые представления симметрической группы хорошо известны, и с
их помощью можно вывести неприводимые компоненты представлений группы
GL(N,R) в тензорном пространстве. В самом деле, если F (ih ..., if)-
произвольный тензор (не обязательно симметрический), то представлением,
индуцированным матрицей Л = [а(/, /)] в этом тензорном пространстве,
будет отображение
F (ip if) (/,, i\) • • • a (if, i') F (i\, ..., /'),
которое мы будем обозначать как
А (r) А <8> ... <8> A (f раз).
Обвертывающей алгеброй этого представления будет алгебра всех
преобразований тензорного пространства, получаемых с помощью составления
вещественных линейных комбинаций таких отображений (с различными
матрицами А, но, разумеется, фиксированным числом /). Можно показать, что
эта алгебра состоит из тех (бисимметрических) операторов
F (ip •.., is) 2 ос (ip ..., ip ip ..., if) F (ip ..., if), 4
у которых коэффициенты a (ip ..., if, i[, ..., /^инвариантны относительно
одновременной одинаковой перестановки f первых и f последних индексов.
Если s - оператор, переставляющий индексы тензора F, то указанная
инвариантность означает, что
AsF = sAF
10.1. Конечномерные представления классических групп Ли 61
при всех тензорах F, так что А здесь - элемент коммутаторной алгебры
соответствующего представления симметрической группы перестановок f
объектов. Оказывается, что алгебра всех бисимметрических преобразований
совпадает со всей коммутаторной алгеброй этого представления
симметрической группы. Таким образом, если известно, как это
представление симметрической группы распадается на составляющие
неприводимые блоки, то известно тем самым также и соответствующее
разложение операторов А.
Существует, однако, еще более тесная связь между коммутаторной алгеброй и
