Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
vv и т. д. теперь будут
Е (их (Xj) иу (Xj)) = Е (vx (Xj) vy (Xj)) = fxy (Xj) + fyx (Xj),
E(ux(Xj)Vy(Xj))=-E(vx(Xj)Uy(Xj)) = j{fyX(Xj)-fXy (Xj)},
так что матрица, составленная из элементов ухy(s,t), здесь не сводится к
диагональной. Это известное обстоятельство, физически интерпретируемое в
терминах соотношений фазы и когерентности между двумя наблюдаемыми
фиксированной частоты А,-, часто кажется непосвященным таинственным; оно,
как мы видели, имеет сравнительно глубокий математический смысл.
6. Коммутативность коммутаторной алгебры
Вопрос о коммутативности коммутаторной алгебры исследовал Макларен в
работе [1]. Ясно, что абсолютно неприводимые представления группы
перестановок можно разбить на следующие три типа:
(1) Представления, эквивалентные вещественным представлениям.
44 6. Коммутативность коммутаторной алгебры.
(2) Представления, не относящиеся к типу (1), но эквивалентные комплексно
сопряженным к себе представлениям, т. е. представлениям, получающимся из
исходных при замене каждой матрицы комплексно сопряженной.
(3) Представления, не относящиеся ни к типу (1), ни к типу (2).
Будем рассматривать представления группы G вещественными матрицами и
интересоваться коммутативностью коммутаторной алгебры этого
представления. Даже если эта алгебра некоммутативна, все равно возможно,
что играющая наиболее важную роль в нашей теории ковариационная матрица
тем не менее допускает представление в виде (2) предыдущего раздела (так
как она, как мы знаем, не является совершенно произвольным элементом
коммутаторной алгебры, а обязательно вещественна и симметрична).
Разумеется, так будет всегда, когда все абсолютно неприводимые
представления группы G имеют кратность не более единицы. Оказывается,
однако, что это верно и тогда, когда представления типов (1) и (3) входят
в разложение не больше одного раза, а представления типа (2) входят
дважды1). Конечно, нетрудно увидеть, что если какая-либо неприводимая
компонента типа (2) или (3) входит в разложение, то в силу вещественности
представления это же верно и для комплексно сопряженной компоненты, так
что если представление типа (2) входит в разложение, то оно должно
входить по крайней мере дважды.
Условия такого типа неудобны для практической проверки. Макларен упомянул
также достаточное условие другого рода для приводимости ковариационной
матрицы к диагональному виду заранее известным унитарным преобразованием,
а именно чтобы группа G переставляла всякую пару элементов из Т. Более
общим условием будет слабая симметрия множества Т,
>) Это было доказано Маклареном с помощью соотношения, выражающего
размерность векторного пространства вещественных симметрических матриц,
перестановочных с данным представлением, в виде функции дт кратностей
неприводимых представлений различных типов.
7. "Склеивание" в схеме неполных блоков
45
т. е. существование такого взаимно однозначного отображения р множества Т
на себя, что для любых s и t равенства ps = gt, р^ = gs выполняются при
некотором g1). Если р - тождественное отображение, то это условие
сводится к только что упомянутому условию Макларена. Докажем
достаточность этого условия: для любой инвариантной функции y(s, t)
у(рt, ps) = y(gs, gt) = y(s, t),
откуда
Y12(s> 0=2yi(s, u)y2(u, t) =
и
= 2 Y2 Yi (n", PS) = y21 (pf, ps) = Y21 (s, t).
u
Таким образом, выполнение искомого условия, а, следовательно, также и
условия Макларена обеспечивает коммутативность коммутаторной алгебры.
Поэтому для слабо симметричных пространств диспер-сионный анализ
приобретает желаемую простую форму, выраженную в соотношении (5.3.2).
7. "Склеивание" в схеме неполных блоков2)
Обсуждаемая ниже задача о планировании при отсутствии некоторых ячеек,
возможно, и не является практически важной в случае классической ситуации
') Если такое отображение р существует, то оно должно удовлетворять
условиям pGp -*=G и цг eG, так как легко видеть, что v(pg'p*1s, р^р-Ц) =
y(s. О и, следовательно, перестановка pgp"1 коммутирует со всеми
элементами коммутаторной алгебры. Так как коммутаторная алгебра
коммутаторной алгебры совпадает с алгеброй всех линейных комбинаций
матриц представления, то pgp-1 е G. Аналогично у (М-2-5' Р20 ~ = Y(s,
откуда р2 е G.
2) В оригинале вместо слова "склеивание" употреблен непереводимый термин
"aliasing", предложенный Дж. Тьюки
(J. W. Tukey) для обозначения аналогичного эффекта в спек-
тральной теории стационарных процессов (и происходящий от слова
"aliases", обозначающего клички, используемые преступ-
ником в дополнение к своему настоящему имени). - Прим. ред.
46
7. "Склеивание" в схеме неполных блоков
планирования экспериментов, когда число недостающих ячеек невелико1) и
значения функции y(gto,to) можно оценить при любом g. Конечно, теория
представления групп может быть полезной при решении уравнений для оценок
недостающих данных наблюдений, но этим вопросом мы здесь заниматься не
будем2). Рассматриваемая нами задача (точнее, ее бесконечномерный
