Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 13

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 38 >> Следующая

рядов и рассматривается в книге Хеннана [1] (см. также следующий раздел).
Если коммутаторная алгебра некоммутативна, положение более сложно. Введем
в рассмотрение величины
г'=1' /=1> • • •> Ра>
t
где Я пробегает множество индексов, соответствующих неприводимым
представлениям группы G, содержащим единичное представление подгруппы К¦
Тогда
X i=l/=1
Далее,
y (s, t) = 2 2 fi~j (я) Щ (g), gt = s,
X i, 1 = 1
причем
и f = i......p,.
Таким образом, как и следовало ожидать, в представление ковариационной
функции в виде суммы зональных сферических функций здесь входят также и
постоянные, отличные от дисперсий компонент zf). Заметим, что
y(s, t)= 2 tr
х
где матрица F(k) состоит из элементов /,-ДЯ) (штрих, как обычно,
обозначает транспонирование), а матрица Ф*>(*) - из элементов (g).
Последнее равенство можно записать в виде
y(s, 0=2tr{E/W?,t/w(g)^}!
х
где Ex - оператор проектирования на подпространство пространства, в
котором действует оператор со-
5.4. Вещественный случай
41
ответствующее единичным представлениям подгруппы К. Аналогично
x(t)=Iitv{z'(X)Um(g)Ex}, ¦
Л
где матрица Z(X) составлена из элементов г(А\
ч
5.4. Вещественный случай, единственность дисперсионного анализа и пример
Следует заметить, что в описанном выше разбиении на dx степеней свободы,
соответствующих Л-й зональной сферической функции, есть некоторый
произвол. Действительно, так как случайные величины
(А.)
Zi (где X фиксировано) имеют одну и ту же дисперсию и ортогональны, то мы
можем, не зная функции y(s,t), заменить эти величины любым другим набором
случайных величин, получаемых из них с помощью ортогонального
преобразования. Поэтому случай, когда все числа dx равны единице, играет
особую роль, так как тогда дисперсионный анализ определяется однозначно.
Это происходит только тогда, когда группа G абелева. Таким образом,
возможность полного дисперсионного анализа зависит от коммутативности
коммутаторной алгебры (т. е. от того, содержит или не содержит
представление группы кратные неприводимые компоненты), в то время как его
единственность (связанная с единственностью разбиения на степени свободы)
зависит от коммутативности самой группы G.
Хотя выше анализ проводился над полем комплексных чисел, можно
использовать методы дисперсионного анализа, приводящие к диагонализации
ковариационной матрицы,' но оперирующие лишь с полем вещественных чисел.
Это возможно в силу указанного в разделе 5.1 обстоятельства, так как
интересующий нас элемент коммутаторной алгебры веществен и симметричен.
Существенное обобщение модели, обсужденной в предыдущих разделах,
возникает в случае, когда в каждой точке t производится два (или более)
42
5.4. Вещественный случай
наблюдения, скажем x(t) и y(t). Мы предположим теперь, что
Y, (5, /) = Е (х (s) х (t)),
4y(s, t) = E(y(s)y(t)),
Yxy(s, t) = E (x (s) у (0)
- инвариантные функции двух аргументов из Т. Анализ над полем комплексных
чисел проводится, как и раньше, и, в случае когда коммутаторная алгебра
коммутативна, все три матрицы (с элементами уx(s,t), yy{s, t), yxt,(s,
t)) можно одновременно привести к диагональному виду с помощью заранее
известного преобразования.
В вещественном случае дело обстоит сложнее в отношении матрицы с
элементами уху (s,i). которая несимметрична. Вещественные спектральные
компоненты (получаемые из величин г{(Х) для каждого наблюдения)
группируются попарно, причем (если только сами Z{(X) не вещественны)
матрица математических ожиданий перекрестных произведений пары для
процесса л: и соответствующей пары для процесса у не-диагональна.
Проиллюстрируем сказанное примером. Рассмотрим два процесса x{t) и y{t),
где Т-множество целых чисел по модулю п. Группа G в нашем примере - это
группа всех циклических перестановок п объектов, а К - единичная
подгруппа.
В рассматриваемом случае все характеры имеют вид exp {iikj} = exp
{i2njt/n} (приведенная формула дает значение /-го характера в точке t,
причем множество этих точек находится здесь во взаимно однозначном
соответствии с элементами группы G). Таким образом, при использовании
комплексного числового поля получаем для / = 0, ..:, п - 1
z* (м=1^ ехр {-/ } '
t
zy (М =-т5ехР{~ г^г};
t
нижний индекс теперь показывает, с каким наблюдением мы имеем дело
(поскольку этот индекс нам не
6. Коммутативность коммутаторной алгебры 43
понадобится для других целей). При этом единственными ненулевыми
перекрестными произведениями будут __________
Е (zx (Xj) zx {X;)) = fx (A,-);
E (zy (X,) zy (Xj)) = fy (A,-);
E(zx(X,)zy (Aj)) = fxy (Xj).
Ограничиваясь полем вещественных чисел, мы должны ввести в рассмотрение
величины
Ux(Xj)={zx(Xj)+Zx(Xj)},
Vxfii) = j{zx(hj) ~ zx(Xj)},
договорившись, что значение их(Xj) равно 2Ж(А3-), если А;• равно 0 или л.
Аналогично определяются величины Uy(Xj) и vv(Xj). Все величины их(А3),
vx(Xj), так же как и uv(Xj), Vy(Xj), ортогональны, и их средние квадраты
попарно равны. Однако ненулевыми перекрестными произведениями величин их,
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed