Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
Е-+АЕР, Z-+AIA',
А е GL{q, R), P^O{N).
Рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что В - нулевая матрица, для
модели, задаваемой равенством
У = ВХ + Е,
где X - некоторая (р X N)-матрица. Хорошо известно, что отношение
правдоподобия для этой гипотезы (обозначим его A(N, р, q)) зависит лишь
от "углов", определяющих относительную ориентацию в Димерном пространстве
двух многомерных плоскостей, проходящих через начало координат и
являющихся линейными оболочками векторов-строк матриц У и соответственно
X. Если В - нулевая матрица, то распределение, индуцированное в
пространстве всех g-мерных плоскостей Димерного пространства
распределением элементов матрицы Е, инвариантно относительно вращений
этого пространства плоскостей
56
$.2. Многомерный статистический анализ
(так как таким свойством обладает распределение элементов матрицы Е).
Можно показать, что эта инвариантная вероятностная мера единственна, но
данный факт нам сейчас не понадобится.
Рассмотрим условное распределение критерия Л при фиксированном X. Это
распределение не изменится, если произвести вращение, переводящее
подпространство, порожденное строками матрицы X, в некоторое стандартное
положение (скажем, в подпространство, натянутое на первые р координатных
осей). Следовательно, оно не зависит от матрицы X, а также от
распределения ее элементов, когда X не фиксировано. Если предположить,
что и X, и У определяют инвариантно и независимо друг от друга
распределенные плоскости, то распределение критерия Л можно будет
получить как условное распределение при фиксированном X, или как условное
при фиксированном У, или как безусловное при X и У нефиксированных. Так
как и первая и вторая процедуры приводят, как мы видели, к тому же
результату, что и третья, то обе они согласуются и между собой; поэтому
распределение углов между независимыми плоскостями, а следовательно, и
распределение критерия Л будут одним и тем же во всех случаях, когда одна
из плоскостей распределена инвариантно независимо от распределения
другой.
В случае когда X - единичный вектор, наша задача сводится к проверке
гипотезы о том, что столбцы матрицы имеют нулевые средние значения; в
этом случае Л, очевидно, сводится к 1-г2, где г - множественный
коэффициент корреляции между элементами единичного вектора и элементами
строк матрицы У. Эта статистика г при нулевой гипотезе поэтому должна
быть распределена как множественный коэффициент корреляции, так как
последнее обстоятельство будет справедливо, если заменить единичный
вектор инвариантно распределенным вектором, но фиксировать У. Если F -
матрица, проектирующая в (N - pi)-мерное подпространство пространства,
порожденного строками матрицы X, a BX(I - F) -нулевая матрица, то можно
считать, что критерий Д
9.1. Компактные группы
57
зависит лишь от распределения углов между плоскостями, определяемыми
матрицами У (I - F) и X (I - F). Так как P (I - F) = (/ - F)P, если Р -
вращение плоскости, на которую проектирует матрица I - F, то равенство У
(I - F)P = YP(I - F) определяет инвариантно распределенную плоскость в
этом пространстве и новый критерий Л, а именно A(jV - р\, р - р 1, q)
имеет указанное распределение. Выбрав р = 2 и приняв в качестве первой
строки матрицы X единичный вектор, а в качестве второй - вектор,
состоящий (скажем) из N\ единиц и последующих N2 чисел - 1 (где Ni + N2 =
N), а за матрицу F взяв матрицу, проектирующую на подпространство,
порожденное единичным вектором, мы получаем статистику, эквивалентную
статистике Хотеллинга для проверки гипотезы о различии между двумя
средними; при этом статистика Л (N- 1, \,q) снова имеет вид 1 - г2, где г
- множественный коэффициент корреляции.
Использование свойств ортогональной группы для вывода распределений
вероятностей, возникающих в многомерном статистическом анализе, получило
большое развитие в трудах Джеймса, первая работа которого (Джеймс [1])
является фундаментальной в этой области. Позже мы вернемся к этому
предмету. Геометрическая наглядность изложенных выше рас-суждений,
безусловно, очень важна и делает их предпочтительнее непосредственных
аналитических выкладок, основанных на преобразовании координат,
появляющемся в ходе доказательства совершенно неожиданно - как яйцо,
извлекаемое из шляпы фокусника.
9.1. Компактные группы
Можно показать, что всякое представление компактной группы эквивалентно
(в слегка расширенном смысле) унитарному представлению; поэтому в
настоящем разделе мы будем рассматривать только унитарные представления.
Замечательно то, что Почти все теоремы, известные для случая конечных
групп, сохраняют силу и в случае, о котором идет речь.
58 9.2. Центральная предельная теорема
(а) Все неприводимые представления здесь молено получить с помощью
операторов, действующих в конечномерном пространстве.
(б) Всякое представление вполне приводимо, т. е. пространство
представления можно разложить в прямую сумму (вообще говоря, счетного
