Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
которую можно рассматривать как пространство векторов-столбцов
размерности тсг, содержащих т последовательно записанных векторов из
Обозначим это новое пространство через Xq\ Сопоставим теперь элементу g^G
матрицу Uor) (g), составленную из гп2 блоков сг-мерных субматриц с
элементами типа ^(gjggj1), если gtSSJ1 е . и нулевыми элементами в
противном случае. Здесь gi - элементы из левых классов смежности группы G
по Я. Тогда ясно, что если Я - нормальный делитель группы G, то
Xor) (А) = tr (Gor) (Я)} = 2 tr [U(r) (ghg-1)} = 2 %я (ghg~l).
а/н а/н
Понятно, что в этом случае (когда Я-нормальный делитель) формула (4)
содержит полную информацию
50
8 1. Непрерывные группы и мера Хаара
о плотности f. В самом деле, если мы выберем некоторое неприводимое
представление группы Я, отличное от r-го, скажем s-e, то число k{C будет
отлично от нуля при = 0 и будет равно нулю при kis> ф 0. Следовательно,
соединение компонент полного разложения дисперсии описывается весьма
просто. Явление, выраженное формулой (4), в теории стационарных процессов
носит название "склеивание" (aliasing), а в планировании экспериментов и
дисперсионном анализе оно называется "соединение", или "смешение"
(confounding). Каждая компонента разложения дисперсии наблюдений
складывается из компонент разложения, отвечающего всем ячейкам,
наблюдаемым или нет - безразлично. Эти составляющие компоненты называют
"соединенными" (confounded) или "склеенными" (aliased).
Случай, когда G - абелева группа, особенно важен. Здесь формула (4)
всегда верна. Этот случай мы еще обсудим в разделе 13.3.
В проведенных рассуждениях не учитывалась информация, содержащаяся в
перекрестных произведениях наблюдений, принадлежащих двум различным
множествам Htit Htj. Возможно, найдется подмножество всего множества
имеющее вид Ящ, seT,
i
и доступное обработке указанным методом. Более общим образом следует
начинать с рассмотрения максимальной подгруппы Н0 группы G, оставляющей
инвариантной все множество точек, в которых делаются наблюдения. Мы не
будем, однако, касаться здесь этого вопроса.
8.1. Непрерывные группы и мера Хаара
До сих пор мы занимались лишь конечными группами. Рассмотрим теперь
бесконечные группы, снабженные некоторой топологией, т. е. такие, на
которых определено понятие непрерывности. (Мы будем далее рассматривать
только сепарабельные группы, т. е. группы, удовлетворяющие второй аксиоме
счетности.)
8.1. Непрерывные группы и мера Хаара
51
Потребуем, чтобы групповые операции (g\, g2)~*gig2, g-* g~' были
непрерывными функциями своих аргументов. (Многие важные топологические
группы являются группами Ли, т. е. группами, на которых можно задать
локальные координаты, позволяющие ввести обычную евклидову метрику и с ее
помощью определить понятие непрерывности. Такие группы будут подробнее
рассмотрены чуть ниже.)
Прежде всего нам надо определить операцию, которая позволила бы
образовывать выражения, аналогичные п~12 f (g)> Для функций f{g),
заданных на группе. Если наша группа - аддитивная группа вещественных
чисел, то такая операция, очевидно, опре-
оо ¦
деляется как j f (х) dx. Существенное свойство по-
- оо
следнего функционала-его инвариантность относительно сдвига интегрируемой
функции. Это свойство однозначно определяет меру Лебега (с точностью до
постоянного множителя). Если G- локально компактная1) группа (только
такие группы мы будем рассматривать в дальнейшем), то на ней также можно
задать меру (интегрирование по которой в дальнейшем будет обозначаться
символом dg), такую, что
J f(g)dg= J f (hg)dg (1)
с " a
для всех h и интегрируемых функций f. Эта мера, называемая
(левоинвариантной) мерой Хаара, единственна с точностью до постоянного
множителя. Важный класс локально компактных групп составляют компактные
группы; на них мера Хаара может быть нормирована условием, что мера всей
группы G равна единице (это условие дальше всегда будет полагаться
выполненным), после чего она становится
') То есть группа, каждый элемент которой обладает компактной
окрестностью.
52
8.1. Непрерывные группы и мера Хаара
однозначно определенной. Более того, для таких групп
J f {gh)dg= J f (g)dg, (2)
о 0
так что левоинвариантная мера Хаара здесь также и правоинвариантна.
Группа, для которой выполнены соотношения (1) и (2), называется
унимодулярной. Из только что сказанного следует, что компактные группы
всегда унимодулярны; легко видеть, что то же самое верно и для всех
абелевых групп.
Другой важный класс унимодулярных групп составляют полупростые группы Ли.
Под группой Ли понимается топологическая группа, являющаяся локально
евклидовой, т. е. такой, что некоторую окрестность каждой ее точки можно
взаимно однозначно и непрерывно отобразить на некоторую область /7-
мерного евклидова пространства. Отсюда уже вытекает, что локальные
координаты в группе можно ввести так, чтобы в области, в которой
перекрываются две локальные координатные системы, координаты одной
