Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 15

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 38 >> Следующая

вариант) представляет, однако, большой интерес для теории стационарных
процессов второго порядка, как это будет видно из дальнейшего. Здесь она
обсуждается в значительной степени из-за эвристического значения
предварительного рассмотрения конечномерного случая. Мы ограничимся
ситуацией, когда коммутаторная алгебра коммутативна.
Рассмотрим ситуацию, когда наблюдаются не все точки t &Т, а лишь
подмножество ht0, hth ..., htp, где к пробегает некоторую подгруппу Я
порядка m группы G. Обозначим через Я0 множество Я П К, состоящее из
элементов группы Я, оставляющих неподвижной точку t0. Тогда по отношению
к множеству TQ - HtQ группа Я играет ту же роль, что и группа G по
отношению к множеству Т.
Таким образом, здесь мы получаем разложение дисперсии вида
77Ш = 2\(Ыо' *о)э$(й), т н
где характер r-го неприводимого представле-
ния группы Я степени ст. Можно, конечно, представить /о (г) в виде суммы
членов, соответствующих некоторым зональным сферическим функциям на Я
относительно НПК (стоящим на диагонали матриц г-го неприводимого
представления). Однако такое представление функции /о(г) не соответствует
разбиению
') Разумеется, она может иметь некоторое отношение к планированию
экспериментов с какими-то отсутствующими наблюдениями типа
многофакторного анализа со сгруппированными факторами.
2) Эта задача может рассматриваться как одна из задач теории
прогнозирования или интерполяции.
7. "Склеивание" в схеме неполных блоков
47
вектора наблюдений на ортогональные компоненты и потому не имеет
особенного значения. Разумеется, если коммутаторная алгебра представления
группы Н перестановками множества Т0 коммутативна, то зональные
сферические функции могут заменить характеры. Аналогично если мы
рассмотрим группу Н как действующую на множестве Tg = Htg, gtg = to, то
получим равенство
соответствующее дисперсионному анализу наблюдений из этого множества. Для
упрощения мы будет использовать обозначение /,(г) в случае, когда tg =
t{.
Наша цель - выразить /, (г), i = 0, ..., р, в терминах f(K) для всей
группы G. Такая формула укажет нам степень смешивания, вводимую
отсутствующими ячейками. Нужной нам формулой является формула следов
Зельберга, согласно которой
7д22^1/г^0. ^0)44/1)=
а н
= 2 nV ]? у {gtv to) эс(г> (г)> (1)
где -характер г-го неприводимого представле-
ния группы G, а - кратность r-го неприводимого представления группы Н в
i-м неприводимом представлении группы G при сужении его на Н. Так как
функция • y{g~lhgt0, t0) постоянна на классах смежности по стационарной
подгруппе Н точки gt0, a\(gt0,t0) двояко инвариантна относительно сдвигов
на элементы из К, то
Ш К м - 2 "7 ? Н" " 2 VI <М. <2>
где щД - степень ?v-ro неприводимого представления группы G и
ш = п
Кк п% "
48 7. "Склеивание" в схеме неполных блоков
Заметим, что2^г)=1- Верно также, что представле-
Г
ниями, порождающими ненулевой вклад в левую часть равенства (2), будут
лишь представления класса 1; тем не менее мы сохраним используемые выше
общие обозначения.
Запишем (2) в виде
МО = 2*^(4; W
G/Я ъ,
это возможно в едлу инвариантности fg(r) на классах смежности группы G по
Я. Последняя формула-та, которую мы разыскиваем. Чтобы проиллюстрировать
ее применение, рассмотрим экспериментальную ситуацию, при которой
возможен выбор Я и to, ..., tp. Если число выбранных точек достаточно
велико, то можно надеяться, что
'р + 1 ^ ^ ^ ~ JoTTf] ^'
i а/н
тогда как при соответствующем выборе подгруппы Я можно надеяться, что
величина 2 (Л) близка к не-
которой плотности f(k), определяемой по заданному г. Во всяком случае,
(3) показывает, какую информацию о "спектральной плотности" f можно
получить при том или ином выборе точек t{.
Если Я - нормальный делитель группы G, то всякое неприводимое
представление группы G, рассматриваемое на Я, распадается на
"сопряженные" неприводимые представления группы Я равных степеней, где
слово "сопряженные" означает, что Я представляется в двух неприводимых
инвариантных подпространствах матрицами A(h) и A(g~lhg). (Это утверждение
часто называется теоремой Клиффорда.) Если Я - нормальный делитель группы
G, то
7. <гСклеивание" в схеме неполных блоков ~
49
где ghg-1 еЯ в силу определения нормального делителя. Таким образом,
¦?t!?y(4. *о) ( ТоТяГ S (Shg-1)) = 2 f
я I о/я J
Согласно теореме Клиффорда, число kV при заданном номере К неприводимого
представления группы G отлично от нуля только для представлений,
сопряженных к заданному неприводимому представлению группы Я, а для них
всех оно принимает одно и то же значение. Следовательно,
-Т S Y (Ч* *о) № = S f W. (4)
я
где (Л) - характер представления группы G, индуцированного r-м
неприводимым представлением группы Я с похмощью способа, описываемого
ниже.
Возьмем т = [G : Я] экземпляров векторного пространства Х(г\ в котором
действует г-е неприводимое представление группы Я (уже не предполагаемой
обязательно нормальным делителем группы G), и образуем их прямую сумму,
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed