Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
где *р — компонента волнового вектора, перпендикулярная оси цилиндра.
15. Бериллий обладает гексагональной плотно упакованной решеткой с параметрами с = 6,79 ат. ед., а = 4,31 ат. ед. (боровскнх радиусов). Он имеет два электрона проводимости на атом. Ферми-поверхность бериллия в одноволновом приближении OPW образует чечевицеобразные сегмрнты вокруг точки к = 2л/с в схеме расширенных зон.
а. Используя одноволновое OPW приближение, вычислите периоды осцилляций де Гааза — ван Альфена б (1/Я) (и расстояние по оси Я между двумя соседними пиками восприимчивости, когда Я = 104 Гс) для поля, направленного вдоль оси с, и поля, лежащего в базисной плоскости.
б. Вычислите циклотронные массы в этих полях.
в. Взяв соответствующее значение OPW формфактора равным 0,05 ат. ед., оцените в двухволновом OPW приближении изменение площади поперечного сечения для центральной области плоскости, перпендикулярной оси с. Считайте, что энергия Ферми не меняется по сравнению со случаем свободных электронов.
Центральная орбита
Задачи
259
1в. Рассмотрите низколежащие зоны в гексагональной структуре вблизи центра некоторого ребра К зоны Бриллюэна, как показано на фигуре.
Обратите внимание на 3-кратное вырождение зон свободных электронов в этой точке. Волновые векторы соответствующих плоских волн суть Ко. Кь Кг. Вблизи к = Ко три плоские волны kf = Ki -f х связаны малым действительным матричным элементом псевдопотенцнала
W = <к01 W | к,> = <к, | W | к2>=<к81W | кз>.
Всеми остальными матричными элементами пренебрегите и считайте, что кинетическая энергия приближенно равна Л* Л*
Найдите 3 X 3-матрицу гамильтониана и зоны вдоль направления Г К вблизи точки К• Этот расчет можно существенно упростить, заметив, что если выбрать подходящие линейные комбинации | к{) и | к2>, то группа вектора к будет содержать симметрию отражения. Соответствующее преобразование матрицы гамильтониана сводит секулярное уравнение к уравнению второй степени.
Найдите зоны для малых положительных и отрицательных х, если W > 0. Заметим, что х-Ко>0 соответствует линии КМ в приведенной зоне Бриллюэна.
17. Рассмотрите модель Кроннга — Пенни из задачи 7. Волновая функция самого низколежащего состояния дается приближенно выражением
П
Волновые функции состояния для к = 0 в более высоких зонах могут быть четными или нечетными относительно положения каждого атома. Нечетные имеют вид
? 2Я* 1 п
эрт — sin —— т для т=1, 2, ... .
17*
260
Гл. II. Электронные состояния
Вычислите приближенно эффективную массу в иаинизшей зоне с помощью к-p-метода, учитывая только первый член, и оцените допущенную ошибку, рассматривая второй. [Заметим, что получающиеся суммы можно вычислить с помощью контурного интегрирования (по показанному круговому контуру).
ОО
Для нахождения 2 / (л) рассмотрим
Р / (г) dz J 1-е2*и '
Затем следует взять вычеты в точках, где переменная г равна целому действительному числу, и в полюсах / (г). При R оо интеграл по контуру обращается в нуль.]
18. Рассмотрим энергетические зоны, показанные ниже. Пусть L есть центр грани зоны, для которой k = q/2. Тогда
(Мы выбрали ось г вдоль направления q.) Энергия, отвечающая фц, в атомных единицах есть q48 — Д, а отвечающая ф?,г есть q*l8 + Д. Постройте все компоненты тензора эффективной массы (т/т*)ц для нижней зоны в точке L, используя к-p-метод и учитывая только взаимодействие между двумя зонами. Для этого потребуется сформулировать метод для случая, когда точки лежат вблизи k = ql2, так же как это было сделано для точек вблизи k = 0.
19. Постройте в приближении сильной связи для s-состояний зоны в случае структуры из задачи 2. Здесь метод придется модифицировать, так как элементарная ячейка содержит два атома. Возьмем снова
1 « • ife * г л
3
и вычислим
<Ф* I н 1
<фл I Фа> ’
пренебрегая трехцентровыми интегралами и учитывая перекрытия только ближайших соседей. (Заметим, что принятый вид волновой функции не следует из симметрии, как это было в случае одного атома на элементарную ячейку, но является довольно разумным предположением.)
Задачи
261
20. Рассчитайте и изобразите зоны в приближении сильной связи вдоль направления [100] для p-состояний в простой кубической решетке. Учтите интегралы перекрытия только для ближайших соседей. Введите столько интегралов перекрытия, сколько нужно (но не более того), считайте значение каждого из них параметром и определите их знаки.
21. Модельная задача для полярона. Построим сначала классический гамильтониан для электрона в деформируемой одномерной решетке. Электрон в зоне проводимости характеризуется гамильтонианом
Я~5Г-2т
Решетка может поляризоваться, и эта поляризация описывается одной координатой X. (В реальном кристалле поляризация описывается многими координатами, которые, как мы увидим, являются нормальными координатами упруго связанных атомов.) Упругая энергия решетки равна Va*X*, а ее кинетическая энергия есть
м у2 L г>2
2 2М '
где М имеет размерность массы, а Р — импульс, сопряженный координате X,
т. е. Р = MX. Наконец, деформация решетки сдвигает энергетический уровень электрона на величину, пропорциональную X; кроме того, мы в нашей модели предположим, что этот сдвиг пропорционален также импульсу электрона р, и зададим соответствующий член гамильтониана в виде QрХ. Этот член характеризует связь между электроном и поляризацией решетки. (В реальном кристалле член взаимодействия также пропорционален координате X, но зависит от положения электрона, а не от его импульса.)
