Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Величина 2 во втором порядке имеет вид
2 (k, ?)-V yWgW<fcl^lfc + «ft4q|»|k>,t 9
ч
где
ft*(k+q)8
2т
Заменим сумму интегралом и вычислим его как функцию ? и k. В результате с помощью (2.97) находим диагональную часть функции Грина. При устремлении е к нулю полюсы стремятся к кривой
?«-ек + 2(Л, ?). (2.100)
В случае простых жидких металлов расположение полюсов не слишком заметно отличается от дисперсионной кривой, которую мы получили с помощью обычной теории возмущений, так что наш выигрыш не так уж велик. Основной нашей целью было ввести одночастичную функцию Грина и проследить, каким образом она обычно используется в современной теории твердого тела.
Мы показали хорошо определенную процедуру для расчета функции Грина, которая состоит в разложении собственно-энергетической части 2 в ряд теории возмущений. Такие расчеты очень похожи на обычные расчеты по теории возмущений, которые были описаны в параграфе, посвященном простым металлам; это можно видеть и из формул (2.99) и (2.100). Однако мы можем непосред-
252
Гл. //. Электронные состояния
ственно использовать функцию Грина для расчета свойств. Выше мы показали, как с помощью функции Грина получают плотность состояний. Зная функции Грина, можно также непосредственно найти и другие свойства, например, пользуясь так называемым формализмом Кубо [58], легко вычислить проводимость.
Приложение к теории функций Грина. Мы вкратце опишем классическую функцию Грина и установим ее связь с функциями Грина, используемыми в квантовой механике. (Мы будем следовать здесь Мэтьюзу и Уолкеру [59].)
Рассмотрим некоторый эрмитов дифференциальный оператор L, который входит в неоднородное дифференциальное уравнение
Lu (х)-Аи (х) = /(х), (2.101)
где А. — заданная константа, / (х) — заданная функция, а на и (х) наложены определенные граничные условия. Однородное уравнение может, например, описывать динамику упругих колебаний, тогда / (х) будет приложенной силой или источником.
Определим функцию Грина однородного уравнения следующим образом: LG(x, х') —AG(x, х')=Ь(х—х'), (2.102)
где L действует на х, но не на х', и потребуем выполнения тех же граничных условий, что и раньше.
Подстановкой можно проверить, что
fl
где и„ — собственные функции:
Lun(x) = knun(x).
Заметим, что
G(x, x') = G* (х', х).
Вычислим функцию Грина, например, для упругих колебаний; для этого нужно решить уравнение (2.101). Умножим обе части его на G н проинтегрируем по х:
^ [G (х', х) Lu (х) — kG (х', х) и (x)J dx = | G (х', х) f (х) dx.
Оператор L эрмитов и может действовать налево, приводя, согласно (2.102), к 6-функцнн. Таким образом,
и (х') =» j G (х', х) / (х) dx. (2.103)
Итак, зная G, мы можем непосредственно найти решение для любой функции источника. Заметим, что функция Грнна зависит как от дифференциального оператора, так и от граничных условий.
В квантовой механике член источника является однородным членом, например возмущающим потенциалом V. Тогда в (2.101) / (х) заменяется на V (х) и (х). Функция Грииа остается той же, а выражение (2.103) превращается в интегральное уравнение для и (х):
и (ж1) =- J G (х\ х) V (х) и (ж) dx.
§ 10. Электронная структура жидкостей
253
При обычных расчетах рассеяния граничные условия сводятся к требованиям, налагаемым на входящую или выходящую волну. Для каждого случая получается своя функция Грина.
В нашем расчете переменная х включает в себя также время, и мы используем две системы граничных условий: одну, требующую, чтобы решение затухало при t -* +°°, и другую, требующую, чтобы решение затухало при
/ —оо.
4. Сопротивление жидких металлов
Обратимся опять к энергетическим уровням системы. Можно было бы в качестве альтернативы описывать эти состояния в рамках теории рассеяния электронов. Это, конечно, можно сделать с помощью функций Грина; в таком случае мы нашли бы, что вероятность рассеяния пропорциональна мнимой части собственной энергии электрона. Будет, однако, проще опять вернуться к зависящей от времени теории возмущений, которую мы использовали при рассмотрении рассеяния электронов на примесях.
Как и раньше, мы рассчитаем рассеяние, рассмотрев псевдопотенциал как возмущение и использовав псевдоволновые функции нулевого порядка (плоские волны.) Теперь мы не можем, как это делали в случае рассеяния на примесях, выделить в матричных элементах члены, ответственные за зонную структуру, и члены, отвечающие наличию дефектов. Такого четкого разделения больше нет, и мы вынуждены писать полный матричный элемент. Это можно сделать таким же образом, как и при вычислении энергии жидких металлов, представляя матричный элемент в виде произведения структурного фактора и формфактора. Результат вполне аналогичен полученному в п. 6 § 8 во втором порядке теории возмущений:
Pk, к' = -g- S* (q) S (q) | (к + q | о; | к) [2 б (?V — ?*).
Снова все величины, входящие в выражение для вероятности рассеяния, известны. Абсолютные значения квадрата структурного фактора можно прямо получить из эксперимента; они будут примерно такими же, какие даны на фиг. 67. Формфакторы для большинства металлов протабулированы и их можно непосредственно использовать. Интегрирование, выполняемое точно так же, как и в случае рассеяния на примесях, дает полное время рассеяния или время релаксации по импульсу т. Последнее легко найти:
