Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Последнее выражение при е-»-0 стремится к сумме б-функций, центрированных на собственных значениях ?„, и поэтому вся сумма выражает плотность состояний.
Это можно легко проверить, интегрируя какой-нибудь один из членов выражения (2.89) по некоторому энергетическому интервалу, скажем от ?, до Ег:
При стремлении е к нулю арктангенсы равны ±л/2 в зависимости от того, больше предел интегрирования, чем ?„, или меньше. Таким образом, если п-е состояние лежит в энергетическом интервале [?|, ?2J, то этот член дает вклад в интеграл, равный единице. Если энергия ?„ лежит вне интервала, никакого вклада в интеграл не будет. Итак, сумма в выражении (2.89) вносит в интеграл по энергии вклад, равный единице от каждого состояния, попадающего в рассматриваемый энергетический интервал, т. е. является точно плотностью состояний. Зная одну только плотность состояний, уже можно вычислить статистическую сумму, а из нее все термодинамические свойства. Функция Грина дает эту информацию весьма непосредствен но.
Для дальнейшего нам удобно провести фурье-преобразование функции Грина по пространственным переменным так же, как мы сделали по временном. Если система трансляционно инвариантна, функция Грина должна зависеть только от г — г' и ее можно описать одним фурье-преобразованием, как и в случае временной переменной. Однако ни жидкость, ни твердое тело не обладают полной трансляционной симметрией, поэтому приходится проводить фурье-преобразование по обеим координатам. Запишем функцию Грина в виде
Л
п
п
G± (г, г'; ?)= 2|k><k|G±|k')(k'|,
ft, ft'
§ 10. Электронная структура жидкостей
247
где | к) — нормированная плоская волна, являющаяся функцией г, (к' | — комплексно сопряженная плоская волна, являющаяся функцией г'. Фурье-образ функции Грина часто записывают в виде
G± (к, к'; Е) = (к | G± | к'> = -±- j d*rcPr'e-* 'G± (г, г'; Е)
Особый интерес представляет диагональный член <к | G | к). Он снова содержит 6-функцию по энергии и, кроме того, квадрат амплитуды коэффициента разложения каждого состояния по плоским волнам. Таким образом, если все состояния в рассматриваемом энергетическом интервале заполнены, такая функция Грина дает вероятность найти электрон с энергией Е и волновым вектором к. Это тесно связано с нашим понятием энергетической зонной структуры, однако функция Грина является хорошо определенной для любой одноэлектронной системы (в том числе и жидкой), в то время как смысл, вкладываемый в энергетическую зонную структуру жидкости, не вполне четок. Мы увидим это яснее, когда попытаемся вычислить саму функцию Грина.
Умножим сначала (2.88) слева на (к |, а справа на | к') и вставим в середину 2 I к") (к'| (это тождественное преобразование). Тогда
2 (к | Е - Н /е | к") (к" | G± | к') = 8и,. (2.90)
k"
Теперь Н содержит оператор кинетической энергии и псевдопотенциал или потенциал. Этот последний мы в дальнейшем будем обозначать через W, причем все наши выкладки останутся справедливыми в случае, когда W — нелокальный псевдопотенциал. Как правило, в литературе фигурирует обозначение V, поскольку там речь идет об обычном потенциале. Заметим, что
\К| 2т Г/- 2т Для сокращения записи обозначим
~2т 8fc"
Тогда (2.90) будет иметь вид
(? - еЛ ie) <k | G± | k'> — 2 <k | W \ k'> (k' | G± | k') = bhV. (2.91)
km
Формализм функций Грина особенно удобен при формулировке теории возмущений, рассматривающей потенциал как возмущение. Так мы теперь и поступим. (По сути дела теория многих тел подобным же образом основана на двухэлектронных функциях Грина, когда в качестве возмущения рассматривается взаимодействие между частицами.) Функция Грина нулевого порядка полу-
248
Гл. //. Электронные состояния
чается из уравнения (2.91) немедленно, если положить W равным нулю и решить уравнение относительно функции Грина:
<ЦОЯк‘)~ ?-_*“тц . (2.92)
Заметим, что лишь диагональные компоненты к = к' функции Грина нулевого порядка отличны от нуля. Они выражают вероятность найти электрон с волновым вектором к и энергией Е. (В этом легко убедиться, интегрируя по Е.) В нулевом порядке, как мы видим, неисчезающий вклад соответствует только таким волновым векторам, для которых
~2пГ =
Рассматривая структуру функции Грина, можно заметить, что каждому собственному состоянию системы отвечает полюс. Теперь видно также, для чего нужен малый параметр е: он сдвигает полюс с действительной оси и указывает нам на то, с какой стороны мы должны обойти этот полюс при интегрировании по энергии.
При W = 0 мы имеем свободный электронный газ, и полюсы функции Грина в плоскости (k, Е) расположены на линии
г-
~2пГ'
которая и определяет зонную структуру свободных электронов.
Рассмотрим теперь разложение функции Грина в ряд теории возмущений. Для простоты мы опускаем индексы ± и аргумент Е, которые одинаковы для каждой функции Грина в наших выражениях. Таким образом мы пишем
С (к, к') = С± (к, к'; Е)
и обозначаем индексом «нуль» функцию Грина нулевого порядка (2.92). В этих обозначениях (2.91) примет вид
(?-е„ Т /е) G (к, к') - 2 (к | W | к') G (к*, к') = 6kk.. (2.93)
