Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
7. Модель Кроннга — Пенни. Рассмотрим одномерный кристалл с притягивающими потенциалами в виде дельта-функций с периодом а:
-ft*
V(*) =
2/71
л 26 (*~па);
Д определяет «силу» дельта-функции и имеет размерность L~l. Легко показать, что эти потенциалы приводят к разрыву производной волновой функции в точках, где обращается в нуль аргумент 6-функции. Таким образом, сшивка волновой функции в точке х = 0 дает
ф(0+) = ф(0-), ft* Г дф I дф I -1 ft* /ft4 .
2/Ti L дх |о+ дх |o-J 2/Ti ^ ^
ук
Решения в области между двумя любыми б-функцнями имеют, конечно, вид
ф = Ае*х+Ве~**,
где р. может быть действительным или мнимым числом (Е = —Л2р*/2/т|), а А и В могут изменяться от ячейки к ячейке.
а. Напишите два уравнения для А, В и р., которые следуют из условия сшивки в одной ячейке для состояния с приведенным волновым вектором к.
б. Разрешив их относительно В!А, получите уравнение для р.. (Построив графически обе части этого уравнения как функции р. (или ?), можно найти собственные значения.)
в. С помощью функций ch р.а и sh ра можно записать это уравнение в простом виде для состояний с к = 0 или с к, находящимся на границе зоны. Получите такие уравнения, покажите, что их решения действительны (для Е < 0) или мнимы, р = iv (для Е > 0), и найдите все решения для случая Д = 0.
г. Проследите на графике, как смещаются энергии, если Д медленно нарастает от нуля: нарисуйте зоны для Д = 0 и для малых Д.
8. Рассмотрим модель Кроннга — Пенни из задачи 7.
а. Получите связанные состояния и их энергии для изолированных атомов (т. е. а оо).
Заданы
257
б. Используя метод ячеек, выведите уравнения, из которых можно найти в кристалле энергию ?<> для наинизшего состояния с k = 0.
в. Найдите соответствующее значение энергии, когда а = 1, Д = 1,
и сравните его со значением для изолированного атома.
г. Найдите основной член в энергии из задачи «б» для малых и больших а.
д. Если энергия остальных состояний есть
с , шг
?от_^Г
и на атом приходится один электрон, то средняя энергия на электрон равна
, А* п*
0+ 2т 12а* *
Используя выражение для ?0 в случае малых а, найдите равновесный параметр решетки а. (То есть параметр решетки, который минимизирует энергию. Мы считаем, что вся энергия связана только с электронами.)
9. Если в модели Кронига — Пенни положить Д = 20 и а = 1, то решениями задачи станут с хорошей точностью связанные состояния свободного атома. Рассматривая их как состояния «сердцевины», постройте OPW для волнового вектора я/а. Каковы действительная и мнимая части этой функции? Плоские волны (или OPW) не обязательно брать нормированными, но внутренние состояния, конечно, должны быть нормированными.
10. Вычислите OPW формфактор для следующей модели лития. Литий имеет «сердцевину», состоящую из двух ls-электронов. Их волновые функции приближенно равны
Считайте, что потенциал имеет вид
v(r) =
а. Найдите выражение для OPW формфактора в виде
(h*k* \
-2^- + <k| v | к) —?с| (к + q | с)(с| к).
Мы уже отмечали, что электроны в состоянии | к) с данным спином связываются только с состояниями «сердцевины», обладающими тем же спином. Абсолютная величина как k -j- q, так и к равна фермиевскому волновому вектору. Заметим, что
j eihtTf (г) dx = j I (г) 4ял* dr.
и
б. Для численных расчетов удобно взять атомные единицы А = m = е = = 1. Тогда расстояния измеряются в воровских радиусах (0,529 А), массы — в единицах электронной массы, а энергии — в атомных единицах энергии (1 ат. ед.= 2 ридберг= 27,2 эВ). Для лития Q0= 140 ат. ед.= 140 (боровский радиус)3. Приняв р = 2,5 ат. ед.-1, ?с = —2,8 ат. ед. и а = 0,5 ат. ед.-1, изобразите схематически формфактор как функцию q/kp в интервале О < q < 2kp- Для сравнения постройте также график функции (k + q | v \ к ). Параметры выбраны такими, чтобы получался разумный результат; при этом
Ес ?=<фс|—^ 2т )
17-0257
258
Гл. //. Электронные состояния
11. Проделайте заново расчеты задачи б, б, рассматривая зоны в приближении почти свободных электронов; при этом псевдопотенциал можно учесть в дифракционном приближении, т. е.
Л2**
2т
в первой зоне, в которой все время остаются электроны.
12. а. В приближении почти свободных электронов рассмотрите двумерный металл с двумя электронами (по одному для каждого спина) на атом, имеющий кристаллическую структуру, найденную в задаче 2. Постройте ферми-поверхность (точнее, ферми-лииию) н укажите, в какой зоне каждая ее часть.
б. Какова циклотронная масса для каждого участка фермн-линпи? Поле Н, конечно, перпендикулярно плоскости фигуры.
13. Каков размер I орбиты в реальном пространстве для алюминия в поле 100 Гс? Ребро куба решетки алюминия а = 4,04 А.
[о/о]
I
[дао]
Поверхность Ферми
14. Считая, что ферми-поверхность имеет форму цилиндра с диаметром ka = 1 А-1, выполните следующие задания.
а. Оцените зависимость периода осцилляций де Гааза — ван Альфена б (1/Я) (который равен расстоянию по оси 1/Я между двумя соседними пиками восприимчивости) от угла между магнитным полем и осью цилиндра.
б. Изобразите циклотронную массу на ферми-поверхности как функцию этого угла, приняв, что
