Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
(k|W'|k) = fr и <к —q | И7| к> = (к | И71 к—q> = 117
264
Гл. II. Электронные состояния
(обе величины не зависят от к) и считая Д = 0. Вычислите собственные значения при к = 0 и к = q/2.
б. Считая, наоборот, что
Г = Г=0 и Д =? 0,
прикиньте, какими должны быть зоны (для этого опять приближенно определите собственные значения при к = 0 и к = q/2). Проделав это, примите, что ?<j лежит между значениями 0 и 1/2 (q/2)2 и
4(|)г-^|»|<^14|1)|. ?к»|<Л4||>|.
Заметим, что если проекция момента количества движения d-состояний квантуется вдоль направления к, то в сумме по d неисчезающим является лишь член с т = 0, и для этого члена
<d | Д | А) = (6 | Д | d) Док2,
где До — константа. Оба вывода следуют из разложения | к) по сферическим гармоникам и сферическим функциям Бесселя и асимптотического поведения последних при малых г.
Особенно интересно найти положение уровней s- и p-типа относительно минимума зоны в точке q/2. В меди эти уровни значительно точнее находятся по схеме, изложенной в задаче «б», где в качестве подгоночного параметра используется До, чем по схеме, изложенной в задаче «а», где подгоночным параметром считается W.
26. Рассмотрим s-зону в жидком изоляторе с помощью метода сильной связи. Найдите среднюю энергию состояний, описываемых волновыми функциями
^(г)=^^- 2 %(|г—г;|),
сохраняя только двухцентровые интегралы (для всех соседей).
Принимая, что при больших г функция ф убывает как е-,*г, a v сильно локализовано, можно написать
J. -2ц | г,-г, I
ф* (г—г*) о (г— г;) ф (г— ri) dt = — Ue 3 для i ф /
и
J-JI I г,-г, I
ф*(г— г»)о(г—п)ф(г— Т}) dx=— A*e ' для i = j,
где Х| и Х2 — положительные константы. Учет перекрытий от всех соседей можно провести, принимая, что вероятность найти соседний атом на расстоянии г, отнесенная к единице объема, есть
где а'1 — константа порядка среднего межатомного расстояния, т. е.
(2^г«-г/))=4я J pwtw RidR-
i
В предельных случаях больших и малых k изобразите вид функции Е (k). (Заметьте, что результат хорошо определен для всех k, но имеет четкий смысл лишь при kla^ 1.)
Литература
265
30. Выведите уравнение (2.87) для G± (г, г'; Я©) и проверьте, что (2.88) действительно является его решением. Чтобы перейти от нормировки на конечный объем, которую мы до сих пор использовали, к более удобной здесь нормировке на 6-функцию, разложим / (<) в интервале 0 < / < Г с периодическими граничными условиями:
/(0=2* и
и
где
Тогда
*(©)=-±- fe+iai?(t)dt
И
j е-Л = 7'6au,.
Если устремить Т к бесконечности и заменить 2 на (7*/2я) I d(o, то можно
ш »
написать
Tg(co) = G((0),
тогда
G(©) = j еш1 (t) dt
И
j e-He>-<a')td< = 2л6 (©-©').
Последнее необходимо, чтобы выполнялось соотношение
Эта формула не так полезна, если подынтегральное выражение содержит 6-фуикцию.
31. Выведите снова функцию Грина G (kb, ka) для двухуровневой системы, положив, одиако,
<*.|*|*о> = <*ь|1П*ь> ?=0
и вычислив 2 (&• Е) во всех порядках по W.
Результирующую сумму 2 (*» Е) можно использовать для получения простого и разумного результата для G (кь, kb)-
ЛИТЕРАТУРА
1. Seitz F-, Modern Theory of Solids, New York, 1940. (Имеется перевод: Зейтц Ф-, Современная теория твердого тела, М.— Л., 1949.)
2. Slater J. С., Phys. Rev., 81, 385 (1951).
266
Гл. II. Электронные состояния
3. Kohn W., Sham L. J., Phys. Rev., 140, A1133 (1965).
4. Кoopmans Т., Physica, 1, 104 (1933).
5. Kittel C., Quantum Theory of Solids, New York, 1963. (Имеется перевод: Киттель Ч., Квантовая теория твердых тел, нзд-во «Наука», 1967.)
6. Herman F., Kortum R. L., Kuglin С. D., Van Dyke J. P., в книге «Methods of Computational Physics», eds. Alder B., Fernbach S., Rotenberg М., vol. 8, New York, 1968.
7. Chodorow M-, Phys. Rev., 55, 675 (1939).
8. Segall B.. Phys. Rev., 125, 109 (1962).
9. Burdick G. A., Phys. Rev., 129, 138 (1963).
10. Slater J. C., Phys. Rev., 165, 655, 658 (1968).
11. Friedel J., Phil. Mag., 43, 153 (1952).
12. Wigner ?., Seitz F., Phys. Rev., 43, 804 (1933); 46, 509 (1934).
13. Altmann S. L., Bradley C. J., Proc. Phys. Soc., 86, 519 (1965).
14. Altmann S. L., Davies B. L., Hartford A. R., Journ. Phys., С 1 (2), 1633 (1968).
15. Herring C., Phys. Rev , 57, 1169 (1940).
16. Loucks T. L., The Augmented Plane Wave Method, New York, 1967.
17. Slater J. C., Phys. Rev., 51, 846 (1937).
18. Ham F. S.. Segall B., Phys. Rev., 124, 1786 (1961).
19. Bouckaert L. P., Smoluchowski R., Wigner E. P., Phys. Rev., 50, 58 (1936).
20. Tinkham М., Group Theory and Quantum Mechanics, New York, 1964.
21. Harrison W. A., Pseudopotentials in the Theory of Metals, New York, 1966. (Имеется перевод: Харрисон У., Псевдопотенциалы в теории металлов, изд-во «Мир», 1968.)
22. Shaw R. W., Jr., Phvs. Rev., 174, 769 (1968).
23. Heine V., Abarenkov I.V., Phil. Mag., 9, 451 (1964).
24. «The Fermi Surface», eds. Harrison W. A., Webb М. B., New York, 1960.
25. Mercouroff IF., La Surface de Fermi des Metaux, Paris, 1967.
26. Segall B„ Phys. Rev., 124, 1797 (1961).
27. Herman F., Kortum R. L., Kuglin C. D., Shay J. L., в книге «И—VI Semiconducting Compounds, ed. Thomas D. G., 1967 International Conference, New York, 1967.
