Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
При квантовомехаиическом рассмотрении система описывается волновой функцией ф (х, X), удовлетворяющей уравнению Шредингера:
(-ST-33--W W+Tx,+0',X) Х)=Е*<’- Х)?
В отсутствие взаимодействия (Q = 0) функция ф (х, X) факторизуется в виде
т.
где L — нормировочная длина, а <рп — волновые функции гармонического осциллятора. Собственные значения суть
тг I * I , 1 \ где
х \ V*
? = -
-№)
ня — целое число.
а. Найдите собственные функции и собственные значения, когда Q Ф 0. (Здесь возможна аналогичная факторизация.)
б. Какова эффективная масса полярона?
22. Рассмотрим зону проводимости и валентную зону, заданные в виде
7. = ±
да
т 1
262
Гл. 11. Электронные состояния
где
A = |4+*y + *!lV* и Д = 1 эВ.
Продолжая волновой вектор в комплексную плоскость, найдите коэффициент затухания р. (для волновых функций, пропорциональных как функцию энергии в запрещенной зоне.
Оцените энергию связи для донорного уровня, используя приближение эффективной массы и считая диэлектрическую проницаемость равной 16.
Оцените величину электрического поля, необходимого для ионизации этого уровня при нулевой температуре (т. е. такое поле, в котором энергия диполя порядка энергии связи).
23. Рассмотрим резонансные состояния при I = 0 для сферически симметричного коитактиого потенциала типа потенциала твердых шаров:
V (г) = рб (г—г0).
Амплитуда волновой функции для г > г0 определяется нормировкой в большом объеме.
а. В случае, когда Р Л, покажите, что амплитуда при г < г0 мала для всех состояний, кроме тех, которым отвечают дискретные резонансные уровни. Выражения для бесселевых функций можно найти в работе [45].
б. Найдите и прокомментируйте приближенные величины фазовых сдвигов вдали от резонанса.
в. Опишите состояние системы в случае, когда для рассматриваемого k отношение fi/k стремится к +<».
24. Рассмотрим сферически симметричный потенциал, который принимает при г = г0 бесконечно большое положительное значение (потенциал твердой сердцевины) и в поле которого находится газ незаряженных электронов.
а. Найдите фазы для состояний с I = 0.
б. Приняв для плотности электронного газа значение, равное соответствующей плотности электронов проводимости в натрии, а в качестве го — радиус сферы Вигнера — Зейтца (4 ат. ед. в случае натрия), найдите, сколько электронов в s-состояииях притягивается, а сколько отталкивается из этой области.
в. Принимая для фриделевских осцилляций асимптотическое выражение, найдите, как отличается плотность s-электронов в точке 2г0 от невозмущенного значения полной плотности.
25. Рассмотрим полупроводник, который содержит в единице объема N электронов и зону проводимости которого можно описать с помощью эффективной массы т* (невырожденный газ или больцмаиовская статистика).
а. Применяя правило сумм Фриделя, найдите число электронов, локализованных в области вблизи сферически симметричного потенциала (не все интегралы здесь берутся).
б. Вычислите сдвиги фаз в борновском приближении для потенциала
v=pa(r).
Помня, что
J 6 (г) / (г) cPr = f(0),
выразите число локализованных электронов через f), Т и N.
26. Рассмотрим систему электронов в приближении эффективной массы
^ Л8*8
Задачи
263
Пусть донорный потенциал имеет вид
а электронные волновые функции можно считать плоскими волнами. Вычислите время релаксации
TW-iSF 1 «'(|-“e)'V-
Заметим, что т фактически зависит от k. Обратите внимание на поведение результата, когда р 0. Эта трудность возникает нз-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала.
Получите основной член в разложении по ?/р (при больших р) и рассчитайте численно поперечное сечение рассеяния а:
-^4- то = Й = объем системы. т*
Для тепловой энергии (? = 1/40 эВ) принять: т*/т =1, е = 16, р = = (0,1/0,529) А-1 (= 0,1 ат. ед.) и Q = 1 см3. Не все константы необходимы.
27. Рассмотрите простой кубический металл с одним электроном проводимости на атом. Будем аппроксимировать псевдопотенциал 6-функцией:
а/(г) = Й0рб(г),
тогда
<k+q|ttj|k) = p,
где Р — константа.
а. Введите в кристалл одну вакансию и определите матричный элемент
<k + q|r|k>.
б. Для электрона на поверхности Ферми вычислите время релаксации т, учитывая рассеяние в нулевом порядке.
в. Время релаксации т электрона на ферми-поверхности вблизи грани зоны Бриллюэна может заметно изменяться при учете членов более высоких порядков. Пусть гранью зоны является плоскость, делящая пополам вектор обратной решетки q0 = 2л/а [100]. Рассмотрим состояние | к) иа поверхности Ферми, когда k || qo- Вычислите изменение вероятности рассеяния, вызванное членом второго порядка, для которого волновой вектор промежуточного состояния
k' = k— q0.
Этот член является преобладающим. Определите множитель, характеризующий зависимость т от р/?р. Считайте, что ферми-поверхность остается сферической.
28. Уравнение с псевдопотенциалом для переходного металла в атомных единицах имеет вид
-ТI *>+»? I Ф>-S в,
d
а. Пусть q — наименьший вектор обратной решетки. Постройте двухволновое OPW приближение для состояний вблизи k = q/2, полагая
