Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
km
Ряд теории возмущений можно записать следующим образом:
G (к, к') = Go (к) дик- + Go (к) (к | W | к') G0 (к') +
+ S 0° (к) (к | w I к,) GO (к,) (к, IWI к') Q0 (к') + ..., (2.94)
где в аргументе функции Грина нулевого порядка мы опустили второй волновой вектор, так как оба волновых вектора всегда одинаковы. Справедливость этого разложения можно проверить, подставляя его обратно в (2.93). Функции Грина нулевого порядка, появляющиеся в каждом члене, носят название пропагаторов
§ 10. Электронная структура жидкостей
249
и дают энергетические знаменатели теории возмущений. Матричные элементы потенциала называются вершинами. В теории поля каждый из таких членов можно представить в виде некоторой диаграммы Фейнмана.
Замечательно, что удается систематически записать члены высших порядков в разложении функции Грина в ряд теории возмущений. При этом мы обнаруживаем, что такое разложение фактически очень напоминает простую геометрическую прогрессию, а значит, можно просуммировать весь ряд для G (к, к) во всех порядках. Действительно, вводя 2 как некоторую произвольную функцию волнового вектора и энергии, получаем
„). +..•]=О» (Ю {1 + о» (к) г + [0° (к) Z]« +.. ?}.
2 (к, ?) = (к|Г|к)+ 2 <к|Г|к1)О0(к1)<к1|Г|к> +
fci *h
+ 2 <к IW' I k,> GO (к,) <k, I IT I kz) GO (k2) <k21 IT I k>+-(2.96)
то сразу же найдем, что выражение (2.95) есть точно диагональный элемент функции Грина (2.94). Первый член в (2.95), в котором появляется 2, дает весь ряд для функции Грина (2.94), за исключением тех членов, в которых один или более волновых векторов промежуточных состояний равны к. Член, пропорциональный 28, дает все вклады, в которых лишь одно из промежуточных состояний есть | к) и т. д. Итак, мы нашли, что функцию Грина можно записать в виде
где 2 (ее называют собственно-энергетической частью) определяется выражением (2.96). Мы можем таким образом просуммировать все порядки теории возмущений, но, к сожалению, конечный результат содержит величину 2, для вычисления которой вновь требуется провести суммирование ряда во всех порядках.
Тем не менее если просто вычислить 2 во втором порядке по W и снова подставить этот результат в (2.97), то можно заметить, что фактически это означает суммирование некоторых членов разложения функции Грина во всех порядках. На обычном языке теории поля мы бы сказали, что мы просуммировали определенный класс диаграмм во всех порядках. В данной задаче, если мы вычисляем 2
(2.95)
Если мы теперь положим по определению
(2.97)
250
Гл. II. Электронные состояния
до второго порядка по псевдопотенциалу, следует ожидать значительного улучшения результатов по сравнению с непосредственным разложением функции Грина до второго порядка по псевдопотенциалу.
В качестве частного примера можно заметить, что если в нашей системе имеется всего лишь два состояния к„ и кь, которые связаны матричным элементом:
(kb\W\ka) = W; <ka|ir|k„> = U"+
(мы положили, кроме того,
<kb|r|kb)-(ka|r|ka) = 0), то 2 во втором порядке будет иметь вид
Цкь. ?)- ?_";ц (2.98)
и вместо (2.97) получим
G(kh Ы =____________?—eg Т »е__________
ь, кь; (?—fcb ^ *е) (?—ea т хе) — WW+'
Хотя мы вычислили 2 только во втором порядке, этот результат точный. Последнее можно показать двумя способами. Во-первых, все члены высших порядков в (2.96) исчезают, так как есть только одно промежуточное состояние. Во-вторых, то, что этот результат точный, можно также видеть, найдя полюсы G (кь, кь), т. е. значения параметров, при которых знаменатель обращается в нуль. Приравнивая знаменатель нулю, мы получаем секулярное уравнение для 2 х 2-матрицы гамильтониана. Мы видим при этом, что суммирование во всех порядках исправляет один дефект обычной теории возмущений, а именно расходимость, которая возникает, если перемешиваются вырожденные состояния.
В этом примере мы считали диагональные элементы равными нулю. Если мы теперь положим их равными W, то выражение
(2.98) во втором порядке примет вид
— WTV7+
2<к». ?) = Г + .^1Г
и результат уже не будет точным. Однако в этом частном случае мы можем легко записать 2 во всех порядках по W и W и, просуммировав геометрические прогрессии, снова получить точный результат (см. задачу 31 в настоящей главе).
Итак, мы видим, что точность результатов второго порядка зависит от нашего выбора начала отсчета энергии и оказывается наибольшей в том случае, когда мы выбрали его так, что
(к|Г|к) = 0.
§ 10. Электронная структура жидкостей
251
Желательно поэтому при вычислениях делать именно такой выбор.
Для расчета 2 во втором порядке в случае жидкого металла мы положили
<k| U71 k + q) (k + q | U? | k) = S* (q) S (q) (к|до| k-fq) (k + q |ш| к).
Формфакторы известны для большинства металлов, a S*(q) S(q) как указывалось в п. 1 настоящего параграфа, для жидкости можно непосредственно получить из дифракционных экспериментов В члены более высоких порядков, которые мы не выписывали входят комбинации типа
S (— q, — q2) S (q2) S (q,) или S (—q, — q2—q3) S (q3) S (q2) S (q,). ...
Их нельзя получить из известных сейчас экспериментов по дифрак ции. При вычислении 2 до второго порядка используется вся доступная информация о структуре жидкости и отбрасываются лишь члены, о которых ничего не известно. Кроме того, используя второй порядок для 2 при вычислении G (к, ?), можно учесть информацию о структуре с максимально возможной полнотой. Таким образом, метод функций Грина дает наилучшую возможность анализа жидких металлов в рамках нашего знания их структуры.
