Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Как и раньше, рассматривая жидкости, мы не будем учитывать того факта, что сами ионы движутся. Движение электронов является значительно более быстрым, и с хорошим приближением мы должны получить те же результаты для «замороженной» жидкости, т. е. фиксируя положения ионов в реальной жидкости в некоторый данный момент. Для заданных положений ионов мы можем в принципе записать гамильтониан системы, вводя сумму псевдопотенциалов, относящихся к каждому из ионов. Более того, мы можем также
*) Этот подход основан на теории, развитой первоначально в работе [57].
16*
244
Г л. //. Электронные состояния
вычислить все собственные функции электронов, хотя практически это и невозможно. В одноэлектронном приближении эти собственные функции и собственные значения дают полное описание системы. Зная их, мы можем вычислить любое выбранное нами свойство жидкости. Как мы увидим, функция Грина дает альтернативное описание системы; она содержит ту же информацию, что и собственные функции и собственные значения, и тоже позволяет рассчитать любое свойство. Вместе с тем, разложение функции Грина по теории возмущений легко можно довести до высоких порядков, а вычисление многих свойств с ее помощью оказывается более непосредственным, чем с использованием собственных значений. Эти преимущества достигаются ценой некоторой потери в простоте понимания.
Волновая функция в представлении Шредингера определяется, как обычно, из уравнения
Яф(г, t) = ih -|-ф(г, /).
Функция Грина есть функция двух пространственных переменных г и г' и двух временных переменных /и/'. В этом, пожалуй, заключена основная сложность функции Грина по сравнению с волновой функцией. Две функции Грина, обозначаемые плюсом или минусом, определяются из уравнения
( щ ±- Н /е) G± (г, г'; /, /') = б (г - г') б (/-/'). (2.86)
Производная по времени и оператор Гамильтона действуют на переменные г и /; е есть малый действительный параметр, который устремляется к нулю в конце вычислений. Таково формальное определение функции Грина. Сначала мы выпишем решения уравнения (2.86), которые можно проверить подстановкой. Затем мы изучим функцию Грина и увидим, как с ее помощью можно определить свойства системы.
Ограничимся случаем, когда гамильтониан не зависит от времени. Тогда существуют собственные функции гамильтониана (г), которым соответствуют собственные значения Ен. Функцию Грнна можно выразить через них в виде
G± (г, г'; t,t') = —j- 2 Ф" W Ч* (r') e_i(?n±i8)(<_,,)/fte± (t-f),
11
где 0 — функция, определенная следующим образом:
0 для х > О,
^ — — 1 для х < О,
1 для х > О,
0-W— о для х<0.
§ 10. Электронная структура жидкостей
245
Это выражение можно прямо подставить в уравнение (2.86), учитывая, что, по определению 0-функции, ее производная по времени есть 6-функция. Множитель (г) Ф* (г') есть просто б (г— г'),
так как ф„ образуют полную систему. (Это можно проверить, умножая последнее выражение на произвольную функцию / (г') и интегрируя по г'. Объемный интеграл по г' дает просто коэффициенты разложения / (г') по собственным функциям, а сумма по п сворачивает ряд к значению той же функции в точке г.) Остальные члены сокращаются, и мы видим, что обе гриновские функции являются решениями (2.86).
Сразу можно заметить, что функция Грина связывает волновую функцию в одной точке и в один момент времени с волновой функцией в некоторой другой точке и в другой момент времени, а именно:
Снова интегрирование по г' дает нам коэффициент разложения волновой функции по собственным функциям в момент t'. Временная экспонента описывает изменение фазы каждого из этих коэффициентов между моментами /' и /, и, наконец, сумма по п собирает в ряд волновую функцию в момент t. Заметим, что функция Грина с индексом «плюс» дает волновую функцию со знаком «минус», если момент времени t был раньше, чем t', и дает нуль в противоположном случае. Функция Грина с индексом «минус» дает саму волновую функцию, если момент времени t больше, чем и дает нуль в обратном случае. Таким образом, функция Грина характеризует результат интегрирования уравнения Шредингера по времени. Это обстоятельство служит центральным пунктом метода функций Грина; однако здесь мы не будем его использовать непосредственно.
Заметим, что функция Грина для случая, когда гамильтониан Я не зависит от времени, есть функция только от разности времен. Поэтому мы можем сразу сделать фурье-преобразование по временной переменной, определив таким образом функцию Грина, зависящую от о), т. е.
Эту новую функцию Грина можно получить непосредственно, выпол няя фурье-преобразование (см. задачу 30 в настоящей главе):
П
Г i* f G_(г, г'
G_ (г, г'; /, О ф (г', /') <Рг' для t > t',
, г'; t, /')Ф(Г'. t')d?r' для t<t'.
G± (г, r'l t, t') = ± j d(oG± (г, г'; fiw) .
G± (г, г*; ha>) = 2
(2.87)
Л©
n
246
Г л. II. Электронные состояния
функция (2.87) является решением уравнения
(Ьы-Ят is) G± (г, г'; й<о) = б(г-г'). (2.88)
Исходя из выражения (2.87), можно показать, что плотность состояний как функция энергии связана со «следом» функции Грина, а именно:
