Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Ф и г. 67. Квадрат амплитуды структурного фактора, умноженный на число атомов для алюминия.
Зависимость найдена изданных по рассеянию рентгеновских лучей [оО].
q.am.eg.
число таких расчетов 1), кажется ясным, что в простых металлах возмущение энергетических зон по сравнению с параболическим спектром свободных электронов весьма мало.
Здесь будет уместным поставить вопрос о применимости в данной задаче теории возмущений. Можно ожидать, что если бы мы точно нашли истинные собственные функции электронов, то обнаружили бы, что они весьма мало похожи на ту единственную OPW волну, которая была взята в качестве исходного приближения; действительно, волновой вектор не является для этих состояний хорошим квантовым числом. Тогда становятся сомнительными и дисперсионные кривые, которые мы вычислили.
Тот же аргумент можно выдвинуть в отношении идеального кристалла с одной вакансией, хотя интуитивно ясно, что в этом случае зонные состояния должны образовывать довольно разумную базисную систему. Заметим далее, что, хотя мы увеличили число состояний, с которыми перемешивается одна OPW волна, на множитель порядка полного числа атомов N, мы уменьшили величины матричных элементов, связывающих эти состояния, в Nl/Z раз по сравнению с их значениями в идеальном кристалле. Следовательно, уменьшение амплитуды волновой функции нулевого порядка должно быть примерно таким же, как и в совершенном кристалле.
х) Результаты самых последних из таких расчетов приведены в работе [56].
16-0257
242
Гл. II. Электронные состояния
В п. 3 настоящего параграфа мы увидим, каким образом можно сформулировать теорию для жидких металлов более строго, хотя новая формулировка не будет фактически отвергать развиваемые здесь идеи.
2. Изоляторы и полупроводники
Ранее мы уже установили, что метод сильной связи оказывается удобным при описании кристаллических изоляторов. Интересно поэтому проследить, как видоизменится этот подход в случае жидких изоляторов. Для определенности мы рассмотрим зону, возникающую в результате перекрытия Зв-функций, локализованных на ионах натрия. В противоположность случаю идеального кристалла мы не можем здесь считать, что интегралы перекрытия имеют некоторые фиксированные значения. Эти значения меняются от иона к иону и зависят от конфигурации ионов, окружающих данный. Тем не менее кажется довольно очевидным, что если зона идеального изолятора достаточно узка по сравнению с расстоянием между атомными уровнями, то суммарный эффект взаимодействий в жидкости должен проявиться в том, что уширенные атомные уровни просто превратятся в размытые зоны. В таком случае мы можем статистически рассчитать это ожидаемое уширение уровней, приняв некоторое распределение для расстояний между соседями.
Мы будем ограничиваться лишь учетом влияния двухчастичных интегралов перекрытия. Их распределение зависит только от парной функции распределения. Эту величину снова можно непосредственно получить из дифракционных экспериментов на жидкости. Хорошо известно, что вероятность найти два атома на расстоянии г (т. е. просто парная функция распределения) есть фурье-образ квадрата амплитуды структурного фактора. Эго можно увидеть, если написать
S* (Ч) S (Ч) —ВТ S _ 4- (2 ,-<.•')+-L,
i г
где сумма по г означает суммирование по всем соседям данного атома, и эта сумма должна быть усреднена по всем атомам. Член UN возникает от слагаемого с i = /. Эго выражение можно переписать, используя величину Р (г) — вероятность найти атом на расстоянии г, отнесенную к единице объема:
^2 J P(r)e_<«,f4nr2dr.
Т
Совершая обратное преобразование, легко выразить Р (г) через измеряемый структурный фактор. Расчет энергий электронов, основанный на использовании Р (г), проводится довольно непосредственно (см. задачу 29 в настоящей главе).
§ 10. Электронная структура жидкостей
243
Рассмотрим, наконец, структуру полупроводников, для которых ширина зон в кристаллическом состоянии сравнима или больше расстояния между зонами. В действительности большинство полупроводников при плавлении становятся металлическими. Таковы, например, жидкие кремний и германий, которые вполне можно рассматривать как простые металлы. Вместе с тем, некоторые полупроводники, как, например, германий, можно получить в аморфном стеклообразном состоянии при осаждении пленок при низких температурах. В этом случае, хотя плотность низкая, как и в полупроводниковой фазе, дальнего порядка в структуре не возникает. Вероятно, отсутствие порядка приводит к высокой плотности ловушек, распределенных в запрещенной зоне. Однако, несмотря на присутствие этих многочисленных ловушек, свойства таких аморфных полупроводников весьма похожи на свойства собственного кристаллического полупроводника. После общего обсуждения электронных свойств в гл. III мы рассмотрим более подробно соответствующую электронную структуру и разберем следствия, вытекающие из нее.
3. Описание с помощью одноэлектронных функций Грина *)
Хотя мы получили, что электронную структуру металлов можно описать в рамках метода, использовавшегося для идеальных кристаллов, интересно рассмотреть и более строгую формулировку. Одноэлектронные функции Грина в последние годы занимают все более и более видное место в теории твердых тел, хотя во многих случаях такие же расчеты с успехом можно выполнить и старыми методами. Таким образом, знакомство с формализмом функций Грина необходимо для понимания текущей литературы. Более того, как мы увидим в случае простых жидких металлов, этот метод позволяет получить более глубокое определение электронной структуры. В настоящем параграфе мы определим одночастичную функцию Грина. Ее связь с классическими гриновскими функциями будет прослежена в приложении, которое помещено в конце параграфа.
