Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
JNS' (?)s <«> I <к+ч И k> I’ Ш ?
О
Очень интересно, что удалось столь прямо и просто обобщить наши расчеты на случай жидких металлов. Те же физические причины, которые были ответственны за возникновение зонной струк-
254
Гл. II. Электронные состояния
туры в идеальном кристалле, вызывают и рассеяние в жидкости. Физически вполне естественно, что этот же структурный фактор должен входить в расчет сопротивления. Он получен в конечном счете из экспериментов по рассеянию нейтронов или рентгеновских лучей в той же системе, которой мы интересуемся при рассеянии электронов.
Может показаться удивительным, что сопротивление жидкого металла оказывается ненамного больше, чем сопротивление идеального кристалла вблизи температуры плавления. Кривая, характеризующая изменение структурного фактора (см. фиг. 67), имеет первый максимум вблизи волнового вектора 2kF, отвечающего верхнему пределу интегрирования при расчете вероятности рассеяния. Однако формфактор в этой же области проходит через нуль, так что подынтегральное выражение остается достаточно малым.
К сожалению, расчет сопротивления оказывется весьма чувствительным к точной форме кривой структурного фактора и к положению нуля формфактора. Из-за этого во многих случаях не удавалось надежно предсказать наблюдаемое сопротивление жидких металлов *). С другой стороны, ясно, что нет противоречия между измеряемым сопротивлением и тем, которое получается, если принять, что описанная здесь картина верна. А поэтому нет ничего загадочного и в том, что сопротивление жидких металлов имеет довольно небольшую величину.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите одномерный кристалл с шестью одинаковыми элементарными ячейками, каждая длиной а, и найдите его зону Бриллюэна. (Используйте периодические граничные условия.)
Предположите теперь, что кристаллический потенциал достаточно мал, так что энергию каждого состояния можно приближенно считать чисто кинетической. Нарисуйте зависимость энергии от волнового вектора в зоне Брил-люэна для первых 12 состояний. Какова блоховская функция и/, для каждого из этих состояний?
Пусть теперь каждая ячейка содержит один атом, который может двигаться только в одном направлении. Предположив, что частоты нормальных мод выражаются в виде произведения волнового вектора на скорость звука (дебаевское приближение), изобразите частоты всех мод как функции волнового вектора в зоне Бриллюэна.
2. Постройте примитивную решетку и зону Бриллюэна для двумерной структуры, образованной правильными шестиугольниками, как показано
*) Сравнение с экспериментом н обсуждение расчета можно найти в работе [21]. Расчет для меди, в котором используется формфактор, следующий из теории псевдопотенциалов для переходных металлов (см. фиг. 65), приводится в работе [49].
Задачи 255
ниже. Можно ввести также 3-й вектор элементарной трансляции, нормальной к плоскости фигуры.
3. Может ли вырождение за счет симметрии возникнуть в точке W двумерной квадратной решетки, как показано на фиг. 22, в?
4. Рассмотрим систему энергетических зон, описываемую выражением
в этой системе все состояния с положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты.
а. В нулевой момент времени в систему добавляется электрон с kx = k0, ky = kz = 0 и налагается поле gx = = О, ?z = ?. Найдите ток как функцию времени. Каково его предельное значение прн t, стремящемся к бесконечности? (Постарайтесь найти более точное решение, чем то, которое получается, если считать зону параболической.)
б. В момент времени / = 0 электрон с тем же к, что и в случае «а», удаляется из нижней зоны. Найдите ток как функцию времени при том же приложенном поле.
5. Рассмотрим одномерный кристалл с параметром решетки а и энергией электрона
E^=^-(i~C0Ska+icos 2ka) •
а. Изобразите энергетическую зону.
6. Найдите эффективную массу для дна и вершины зоны, разложив Е до второго порядка по отклонению k от этих точек.
в. Определите эффективную инертную массу электрона из уравнения
dv 1_ F
dt mi ’
где F — приложенная сила. Нарисуйте зависимость mi от k.
г. Найдите эффективную массу, если скорость характеризуется выражением
и изобразите ее графически. (Эта эффективная масса входит в выражение для проводимости.)
д. Напомним, что число состояний на единицу длины кристалла в интервале волновых векторов dk есть dk/2n. Выразите плотность состояний на единицу энергии через k и массу та, определяемую по плотнобти состоя-
256
Гл. II. Электронные состояния
ний. (Формула должна давать правильное выражение для свободных электронов в одном измерении, если подставить т вместо та-)
Связана ли масса та с массами, определенными выше?
в. Представим себе, что для простой кубической структуры (с ребром куба а) энергетическая зона имеет вид
Eh — — Е0 (c°s kxa -г cos bua-f-cos kza).
Пусть, начиная с момента / = 0, на покоящийся электрон (к = 0) начинает действовать однородное, постоянное во времени электрическое поле %.
а. Найдите траекторию в реальном пространстве. Ее можно определить, задавая х (0, У (0 и * (<)-
б. Изобразите траекторию для случая, когда поле % приложено в направлении [120].
