Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Ф и г. 69. Полупроводник с симметричными зонами электронов и дырок.
Черные кружки означают термически возбужденные электроны, а светлые — термически возбужденные дырки. Энергия Ферми лежит посередине запрещенной энергетической зоны, ширина которой равна 2Д.
зоны попадет в точку —Д. Эта величина обычно имеет порядок 1 эВ, т. е. много больше тепловой энергии КТ. Таким образом, фермиев-скую функцию, определяющую заполнение электронных состояний, можно приближенно представить в виде
L (Е) = 1 «в-Е/кт
/о' ' в®/кг_|_ j ’
т. е. в виде простой больцмановской функции. Физически это просто означает, что вероятность заполнения состояний так мала, что вероятностью заполнения двумя частицами одного состояния можно пренебречь, так что принцип Паули становится несущественным.
В этом простом случае мы можем определить энергию Ферми как постоянную для всех температур, и энергия возбужденных электронных состояний вычисляется довольно просто. Она в силу зеркальной симметрии будет равна также энергии возбужденных дырочных состояний. Можно вычислить полную энергию электронов в зоне проводимости:
?эл = S Enf0 (Еп) да S ?„<г
П П
272
Гл. III. Электронные свойства
Переходя от суммы по состояниям к интегралу по обратному пространству и используя для описания энергий приближение эффективной массы
получаем
= -(Цг J <“4”4’ (4 + -§г) e-“«v'2->"n' -
что составляет величину порядка Д на возбужденный электрон. Добавив теперь к энергии возбуждения такой же вклад, связанный с дырками, мы получим полную энергию. Мы видим, что она пропорциональна объему, как и должно быть. Взяв теперь производную по температуре, можно получить удельную теплоемкость.
Заметим снова, что обычно Д значительно больше КТ, поэтому экспоненты будут исключительно малыми. Мы видим таким образом, что вклад электронов в удельную теплоемкость полупроводников крайне мал по сравнению с классическим значением 3/zKT на валентный электрон, и это согласуется с экспериментом. Вкладом электронов по сравнению с вкладом в удельную теплоемкость самих атомов можно полностью пренебречь при всех температурах. Вклад атомов в удельную теплоемкость мы рассмотрим, когда будем говорить о фононах.
Заметим далее, что таким же образом можно вычислить и число электронов в зоне проводимости. При этом получаем число электронов на единицу объема:
и — 1 / 2т*КТ\3/» д/кг
"““TV )
Эта величина опять крайне мала по сравнению с общим числом электронов. Однако если эти электроны являются единственными носителями, дающими вклад в проводимость, то они должны быть тем не менее важны.
Рассмотрим теперь электронный вклад в удельную теплоемкость металлов. Этот случай совсем не так прост, как предыдущий, поскольку мы должны одновременно вычислять сдвиг энергии Ферми, требуя сохранения полного числа электронов. Тем не менее мы можем сразу заметить, что в металлах электронная удельная теплоемкость должна быть заметно больше, чем мы получили для полупроводников. Так как теперь нет энергетической щели, экспонента, которая появлялась раньше, в случае металлов отсутствует.
В этом расчете у нас нет необходимости ограничиваться случаем простых металлов. Пусть плотность состояний на единицу энергии
§ 1. Термодинамические свойства
273
есть п (?). Мы можем записать полную энергию и полное число электронов через эту плотность состояний:
оо
?0 = J /о (?) п (?) ? dE,
— оо оо
{ f0(E)n(E)dE.
Из-за сложного вида фермиевской функции распределения эти интегралы выглядят довольно неуклюже, даже если принять простое аналитическое выражение для плотности состояний. Однако энергия КТ мала по сравнению со всеми другими энергиями, фигурирующими в задаче, поэтому можно получить очень хорошие приближения для интегралов, разлагая их в ряд по температуре. Рассмотрим интеграл общего вида, который нас будет интересовать. Проводя интегрирование по частям, имеем
оо
I=\g(E)f0{E)dE = G{E)f0(E)\+Z- j G(E)^§-dE, (3.1)
— оо
где g (?) — некоторая данная функция энергии, всегда, однако, содержащая как множитель плотность состояний, и где
G(E)= j g(E)dE.
При достаточно низкой энергии состояний фактически нет, а при достаточно высокой энергии фермиевская функция стремится к нулю, так что первый член исчезает на обоих пределах.
Функция df0/dE имеет резкий максимум при энергии Ферми, поскольку, как мы видели, фермиевская функция быстро падает от единицы до нуля вблизи уровня Ферми. Таким образом, д/0/д? приближенно равна отрицательной 6-функции.
Это равенство становится все более точным с понижением температуры. В низшем порядке по температуре мы имеем
1
l~G(i)= j g(?)dE.
— ОО
Этот результат очевиден. При абсолютном нуле все состояния ниже энергии Ферми заняты и все состояния выше ее свободны. Чтобы получить удельную теплоемкость, необходимо учесть следующие члены разложения.
Разложим теперь нашу функцию G (?) в ряд вблизи энергии Ферми. Функция G (?) непосредственно связана с нашей функцией
18-0257
274
Гл. III. Электронные свойства
g (?), и поэтому все производные легко найти:
G(E) = G(l) + G'(l)(E-t) + ±G"(t)(E-t)*+... . (3.2)
