Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
(Щ - _ f~fo
V dt J столки т ’
где т — время релаксации.
§ 2. Явления переноса
287
Такой подход согласуется с нашим предположением о том, что импульс отдельного электрона хаотизируется с характерным временем, которое мы ввели. Приближение времени релаксации весьма правдоподобно и подтверждается большим числом экспериментов; тем не менее оно, конечно, не может быть справедливым во всех случаях. Если, например, процессы рассеяния преимущественно упругие, они будут стремиться обеспечить затухание любого тока до равновесного нулевого значения, однако такие процессы оказываются не столь эффективными, когда речь идет о затухании любого изотропного отклонения от равновесного распределения, зависящего от энергии. Таким образом, может оказаться необходимым определять различные времена релаксации для разных изучаемых эффектов. Кроме того, следует с большим вниманием отнестись к тому, какая равновесная функция распределения /0 входит в член д//д/|Столкн- Если, скажем, функция распределения неоднородна (в разных точках пространства полная плотность электронов различна), то в член столкновения должна входить равновесная функция распределения, соответствующая локальной плотности частиц, т. е. /о In (г)]. Вместе с тем, нам придется ввести процессы рассеяния, которые одновременно переводят электроны из одной точки в другую. И все-таки, если приближение времени релаксации вводится аккуратно, оно хорошо описывает многие свойства.
Используя предыдущее выражение, мы можем теперь записать уравнение Больцмана в приближении времени релаксации:
df ,df с ,df f-Ш
дГ+дГР+dTv--------------—'
Чаще всего мы будем интересоваться приложенными к системе внешними полями и искать лишь линейный отклик на них, поэтому мы запишем функцию распределения в виде
f-=fo(n) + ft,
где f0 (п) — равновесная функция распределения, вычисленная для средней электронной плотности (она не является функцией координаты), a fi — отклонение от равновесия. Это выражение можно подставить в уравнение Больцмана в приближении времени релаксации и оставить только члены первого порядка по приложенным полям. В результате получается линеаризованное уравнение Больц-мина
где мы обозначили разность между равновесной функцией распределения с локальной плотностью fo (п) и равновесной функцией распределения со средней плотностью системы f0 (п) через
&nfo = fo(n) — f0{n)-
288
Гл. III. Электронные свойства
Этот член при написании линеаризованного уравнения Больцмана часто опускают. Однако, когда плотность зависит от координаты, важно, чтобы этот член был включен.
2. Электропроводность
Воспользуемся теперь линеаризованным уравнением Больцмана для расчета конкретного свойства. Именно, мы рассмотрим проводимость в однородном электрическом поле; таким образом, приложенная сила определяется для электронов как
F=-eS,
а для дырок
F= +е$.
Для решения задачи нам необходимо вычислить функцию распределения в присутствии приложенного поля. Затем мы через эту функцию распределения выразим ток, и эта процедура даст нам коэффициент пропорциональности между током и приложенным полем, который как раз и является проводимостью.
Мы рассматриваем стационарное состояние, поэтому первый член в (3.16) исчезает. Кроме того, функция распределения не будет зависеть от координаты, следовательно, третий член, равно как и член 6nf0, также обращается в нуль. В результате имеем
d/р Р_ fi
1TF__T-
Удобно переписать левую часть этого уравнения, воспользовавшись тем, что
dfo__dfo_dE__dlo_v др дЕ др дЕ
Такая запись будет особенно удобна для металлов, так как величина — dfo/dE тогда приближенно равна б-функции. Теперь же мы немедленно получаем член первого порядка в функции распределения:
где первый знак соответствует электронам, а второй — дыркам.
Мы можем теперь непосредственно найти протекающий ток, суммируя вклады в него от каждого занятого состояния. Равновесная функция распределения не даст никакого тока, так что можно в расчете просто взять поправку первого порядка. Тогда
§ 2. Явления переноса
289
Знак носителей выпадает, и формула верна для любой зонной структуры. Примем теперь, что зоны изотропны. Для удобства положим, что поле S направлено вдоль оси г. При интегрировании по углу единственной неисчезающей компонентой тока будет г-компонента. Можно поэтому заменить v на vz. Усредняя далее по углу, замечаем, что
<«&-?•
В результате для плотности тока находим
Этот интеграл легко можно вычислить, интегрируя по частям. Запишем, во-первых,
d3p = 4np2dp.
Будем теперь считать зону параболической с энергией
? = _?!_
2т*
и перепишем первый множитель v в виде plm*, а второй — в виде дЕ/др. Тогда
( df0 \ I дЕ \ _ dfp
\ дЕ ) \др } ~ др'
Используя эту окончательную форму, можно провести интегрирование по частям:
h
2е*х%г
Zh2m*
и
2е*х%г
3h3m*
ов
( —4пр% ” + 3 j dp4npif0Sj .
Первый член обращается в нуль как на нижем пределе, где/? = О, так и на верхнем, где /0 = 0. Остающийся интеграл после умножения на 2/(3Л8) есть просто N — число электронов (или дырок) в зоне на единицу объема. Таким образом, мы можем сразу найти проводимость а, связывающую плотность тока с полем (j = crj):
