Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Изучению термоэлектрических и термомагнитных свойств посвящено довольно много работ. Мы здесь лишь наметили подход к рассмотрению одного или двух простейших явлений.
5. Туннелирование электронов
Явление переноса, которое в последние годы вызвало особый интерес, состоит в прохождении электронов через тонкие пленки изолятора. Одна из систем, на которой изучались такие эффекты, изготавливается путем осаждения слоя алюминия на стеклянную подложку, окисления его в течение нескольких минут и затем осаждения второго слоя на первый. Такая окисная пленка алюминия обычно получается непрерывной и имеет толщину порядка 20 А. Таким образом, два слоя алюминия не находятся в электрическом контакте, но если к ним приложено электрическое напряжение, то возникает ток, который оказывается пропорциональным приложенному напряжению. Такое же поведение следовало бы ожидать, если бы пленка не была сплошной и ток проходил через небольшие перемычки. Однако, если металлы сделать сверхпроводящими, становится ясно, что ток переносится с помощью механизма туннелирования. Мы вернемся к туннелированию в сверхпроводниках в гл. V.
Если мы рассмотрим волновую функцию зоны проводимости одного из слоев алюминия, мы увидим, что в месте контакта с окислом она не обращается в нуль скачком. Можно ожидать, что в пленке окисла волновая функция экспоненциально будет затухать, как и в случае поверхностных состояний, о которых мы говорили в п. 3 § 8 гл. II. Тогда на противоположной стороне пленки окисла она будет все же иметь конечное значение, и поэтому электрон может
298
Гл. III. Электронные свойства
проникнуть во второй слой. Такое же поведение можно было бы ожидать и в случае, если бы две пленки алюминия были разделены вакуумным промежутком 20 А. Тогда интересующие нас электроны проводимости должны были бы иметь энергию ниже вакуумного уровня, а волновая функция соответствовала бы в области вакуума отрицательной кинетической энергии и опять затухала бы экспоненциально. Фактически это та же ситуация, что и при квантовомеханическом туннелировании. Единственное отличие случая с окисным слоем заключается в том, что экспоненциальное затухание вызывается не непосредственно отрицательной величиной кинетической энергии, а тем фактом, что интересующие нас энергии лежат внутри запрещенной зоны окисла. В настоящее время кажется очевидным, что правильнее рассматривать окисел как аморфный полупроводник. О таких полупроводниках мы будем говорить в § 7 настоящей главы. Там мы увидим, что подобные материалы ведут себя почти так же, как полупроводники или изоляторы, в которых энергия Ферми лежит вблизи середины запрещенной зоны. Этим, вероятно, можно объяснить успех теории туннелирования, в которой всегда предполагалось, что окисел представляет собой кристаллический собственный полупроводник. Мы также сделаем это допущение.
Приступим теперь к вычислению вероятности туннелирования электрона сквозь пленку окисла. По-видимому, наиболее естественный подход будет заключаться в том, чтобы построить падающую и отраженную волны в одном слое, сшить их с экспоненциально затухающими волнами при той же энергии в окисле и, наконец, последние сшить с волной, прошедшей во второй слой. В обычной задаче о туннелировании эти две системы условий сшивки однозначно дают отношение интенсивностей прошедшей и падающей волн и, следовательно, вероятность прохождения.
Условия сшивки в данном случае усложняются необходимостью знать значения блоховской функции uh (г) на поверхности сшивания, т. е. параметр 0, который мы ввели в п. 1 § 6 гл. II. Однако если задаться некоторым значением р, то все вычисления можно выполнить 17]. Получающаяся вероятность перехода содержит экспоненту е~2 I* 16, где б— толщина окисла, a k — мнимая часть волнового вектора, соответствующего состоянию внутри окисла. Этот множитель весьма важен, так как он в основном определяет вероятность прохождения, которая оказывается порядка 10-9. Однако не меньший интерес представляют и другие сомножители в выражении для вероятности.
С физической и математической точек зрения эти расчеты совершенно аналогичны расчетам в случае туннелирования фотонов. Представим себе луч света, испытывающий полное внутреннее отражение на поверхности стеклянной призмы. Хорошо известно, что электромагнитное поле экспоненциально затухает в вакууме с противоположной стороны призмы. Если же, однако, мы подведем
§ 2. Явления переноса
299
другую призму достаточно близко к первой, то возникнет малое пропускание света во вторую призму. Это явление можно описать как в терминах классической теории электромагнетизма, так и с помощью представлений о туннелировании фотонов. Результат расчета электронного туннелирования имеет тот же вид, что и полученный для электромагнитной волны, только показатели преломления следует заменить параметрами, пропорциональными плотности состояний в каждой среде. (В случае окисла это — абсолютное значение плотности состояний, «просочившихся» в запрещенную зону.) Дополнительные множители, о которых мы упомянули выше, «способствуют» туннелированию, когда плотности состояний в различных металлических слоях сравнимы с соответствующей величиной для изолятора.
