Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
В данном случае мы должны будем рассмотреть систему с температурным градиентом. Мы сделаем это на основе интуитивных соображений, которые представляются нам довольно разумными. Давайте для простоты представим себе систему свободных электронов (вырожденных, как в простом металле, или невырожденных, как в полупроводнике). Выберем за нуль энергии минимум данной зоны и предположим, что функция распределения имеет вид
(3'20)
Мы считаем, что и энергия Ферми, и температура являются функциями координаты, причем они изменяются только вдоль направления х. В любой данной точке первый член представляет собой равновесное распределение, отвечающее хорошо определенной температуре. Кроме того, мы добавили к функции распределения
*) Обзор этих «гальваномагнитных» эффектов в металлах дан Чамберсом в книге [5]. (См. также [41]. — Прим. ред.)
2) См. предыдущее примечание.
3) См., например, [6].
§ 2. Явления переноса
295
поправку первого порядка. Ясно, что такая поправка необходима, если кроме температурного градиента имеется еще и поле. Сразу можно увидеть, что в большинстве интересных случаев присутствие таких полей неизбежно. При измерениях теплопроводности образец обычно электрически изолирован от окружения. Таким образом, граничные условия, которым удовлетворяет наша система, должны требовать исчезновения тока, но не электрического поля. Из физических соображений можно ожидать, что, если исчезнет поле, электроны будут увлекаться вдоль температурного градиента и возникнут токи. Таким образом, мы будем рассматривать потоки как тепла, так и заряда в присутствии температурного градиента и электрического поля. Потребовав, чтобы исчезал ток, мы можем найти электрическое поле, а затем поток тепла и в результате получить обычную теплопроводность. Также, естественно, мы придем и к термоэлектрическим эффектам.
Мы снова интересуемся стационарным случаем, и уравнение Больцмана имеет вид
Величина f0 в члене релаксации есть локальное равновесное распределение, т. е. первый член (3.20). Допустим, что электрическое поле направлено по оси х и является единственной силой, входящей в уравнение. В выражении для df/dr мы оставим только член наиниз-шего порядка, который можно получить, продифференцировав первое слагаемое в (3.20) no.v. Для уравнения Больцмана тогда получим
Теперь мы можем записать выражения для тока и потока тепла, считая, что тепловая энергия просто равна кинетической энергии электронов:
Мы видим, что имеется вклад в электрический ток, пропорциональный полю, а вклад в поток тепла обусловлен градиентом температуры. Однако есть еще член в электрическом поле, вызванный тепловым градиентом, и член в тепловом токе, вызванный электрическим полем.
JLf + |Lv + -?^-:=0.
др ' дт 1 т
откуда можно сразу найти
/* = -р- j d3p( — e) Удг/i,
(3.22)
296
Гл. III. Электронные свойства
Положив электрический ток равным нулю, можно исключить
электрическое поле и величину д\1дх и найти отношение потока
тепловой энергии к температурному градиенту, т. е. коэффициент теплопроводности х. Для простого металла имеем
16л3 mvFx tvы п2 Л'т vvr
9 Л3 * 3 т " '
где N — снова плотность электронов. Отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности есть
х я* К* гг а ~ 3 в* 1 •
Величина я2/(2/(Зе2) называется отношением Видемана — Франца; все входящие в него параметры суть фундаментальные константы. Оказывается, что с хорошей точностью это отношение имеет место для многих металлов.
Довольно естественно, что теплопроводность и электропроводность связаны подобным образом. Займан [6], например, показал, что в случае теплопроводности можно считать, что электрон переносит энергию КТ и что сила, связанная с температурным градиентом, есть д\ КТ\/дх. С помощью интуитивных соображений, вроде
Фиг. 75. Два стержня из различных материалов с приложенным градиентом температуры.
Левый контакт является термопарой. Разность потенциалов можно измерить между точками а и Ь справа.
тех, к которым мы прибегли при расчете электропроводности, мы приходим к тому же виду отношения Видемана — Франца, но, конечно, без численного коэффициента.
С помощью тех же уравнений мы можем изучать также и термоэлектрические эффекты. Рассмотрим, например, два стержня из различных материалов, соединенных между собой, как показано на фиг. 75. Будем считать, что температура левого и правого концов различна, следовательно, в обоих стержнях возникает температурный градиент. Сначала мы будем считать, что оба металла разделены и тока в каждом из них нет. Иными словами, в каждом веществе мы положим ток, определяемый соотношением (3.22), равным нулю [при этом мы считаем, что ft дается выражением (3.21)1. В результате мы получим интегральную связь между
dV , dg
§ 2. Явления переноса
297
где V — электростатическая потенциальная энергия электрона, являющаяся функцией координаты, и
dT dx •
Интегрируя вдоль каждого из стержней, мы найдем разность энергий Ферми на обоих концах, измеренную относительно дна зоны, плюс разность электростатических потенциальных энергий (которая определяет положение минимума зоны). Эта сумма для каждого металла будет пропорциональна разности температур на обоих концах. На левом конце, где металлы находятся в контакте, абсолютная величина энергии Ферми должна быть у обоих металлов одной и той же, на правом же конце полная разность энергий Ферми может быть измерена по разности потенциалов. Это и есть э. д. с. в контуре; она пропорциональна разности температур на его концах. Мы, таким образом, построили термопару, и ее э. д. с. есть разность термоэлектрических потенциалов.
