Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем сразу связать матричный элемент Т с вероятностью перехода Р, о которой говорилось выше. Мы опустим поперечные компоненты, которые одинаковы для обеих сторон, считая, что k{ и k2 обозначают компоненты волнового вектора, нормальные к барьеру. Вероятность перехода электрона из состояния ki в металл 2 есть
Ра (ft.) = S х |ТНнг |2б (Ekt - Ен) = ft*
2п Lt (* j г I Т'лйа I2 ® ^fti ^ft*) _
— А 2л J к* дЕ/дкЛ ~
“-7-IW Ш". (3-23)
где в окончательном выражении все параметры вычислены при значении k2, которое соответствует закону сохранения энергии, a L2 — толщина металла 2.
Ту же вероятность можно вычислить и через коэффициент прохождения Р. При этом вероятность определяется произведением коэффициента прохождения и частоты, с которой электрон в состоянии ki ударяется о барьер. Эта частота равна просто нормальной к барьеру скорости электрона, поделенной на толщину мета7ла
Р“Ы-рТщЬ- <3-24)
(В этом выражении можно по ошибке написать множитель 2, взяв удвоенную длину Lit что может показаться естественным при нашем расчете коэффициента прохождения. Однако такой расчет соответствовал бы условию обращения в нуль функций на границе в отсутствие туннелирования, тогда как наша классификация состояний по волновому вектору подразумевает периодические граничные
302
Гл. III. Электронные свойства
условия.) Объединяя (3.23) и (3.24), для величины туннельного матричного элемента получаем выражение
I 'г |з Р &Е дЕ I ftifcj I - цц dkl дь2 •
Мы видим, что этот результат имеет правильную симметрию относительно перестановки металлов 1 и 2 и что он содержит соответ-ствующуюэкспоненциальную зависимость от толщины окисла. Зависимость от Li и 1.2 также верна, и она исчезнет после суммирования по состояниям, которое необходимо для вычисления полных токов.
Мы рассчитываем вклад в ток от состояний, отвечающих только определенному значению поперечного волнового вектора. Это сводит проблему к случаю одного измерения; для реального кристалла
а б
Фиг. 76. Зависимость потенциала, соответствующего туннельному контакту, от координаты.
Вместо обоих металлов мы рассматриваем одинаковые газы свободных электронов, разделенные вакуумом (в котором потенциал превосходит энергию Ферми на величину, называемую работой выхода). Случай а отвечает равновесию, никакого напряжения не приложено. и энергия Ферми ? постоянна для системы. В случае 6 приложена разность электростатического потенциала Фа, сдвигающая термодинамические энергии Ферми с обеих сторон друг относительно друга на величину е*а, что вызывает в контакте поле Фа/б и обусловливает ток туннелирования. Заштрихованные области означают занятые состояния. Заметим, что плотность электронов и кинетическая энергия Ферми Ер остаются неизменными по обе стороны от контакта.
мы должны добавить вклады от всех поперечных волновых векторов, но это не изменит основного характера результата. Переходы из состояния kt в состояние k2 будут давать вклад в ток лишь в тех случаях, когда состояние kt занято, а состояние k2 свободно (или наоборот). Этот результат следует из принципа Паули, но его можно также получить, если учесть, что вклад указанного перехода в точности сокращается с вкладом перехода из состояния k2 в состояние 6,, когда оба состояния заняты. Таким образом, выполняя расчет при Т = 0, мы должны просуммировать выражение (3.23) по энергиям, меньшим энергии Ферми для металла 1 и большим энергии Ферми для металла 2 Как видно из фиг. 76, энергетический интер-
§ 2. Явления переноса
303
вал, дающий вклад в ток, в точности равен приложенному потенциалу. Мы сейчас считаем, что каждый из металлов есть просто газ свободных электронов, и они разделены вакуумом. В следующем параграфе (§ 3) мы увидим, что аналогичная диаграмма возникает и в случае более сложной энергетической зонной структуры.
Вычислим теперь ток для приложенного напряжения величиной фа- Знак перед выражением легко найти из фигуры. Ток равен произведению заряда электрона на вероятность перехода в единицу времени, просуммированному по соответствующим состояниям (для обоих спинов). Заменяя суммирование интегрированием, имеем
ef
(i1г)Л'р«№>“-тг J
Я^-|еф„|
Воспользовавшись для Pi2 выражением (3.23), мы получаем простой результат, в который входит коэффициент перехода:
ef
У« = Ж J PdE• <3-25>
?^-|*Фа1
Теперь снова нужно просуммировать по поперечным волновым векторам (помня, что Р, так же как и энергия, зависит от поперечного волнового вектора), и мы найдем, что окончательный результат пропорционален площади контакта.
Заметим, что характеризующие плотность состояний множители, пропорциональные (д?/д?) , из выражения (3.25) выпадают. При малых внешних потенциалах коэффициент перехода не зависит существенно ни от приложенного потенциала, ни от энергии; поэтому можно взять его значение, отвечающее энергии Ферми, и вынести из-под интеграла. Тогда мы сразу же найдем, что ток пропорционален приложенному напряжению и соответствует сопротивлению лЬЦе2Р). Как мы уже отмечали, именно это и наблюдается экспериментально.
Как можно видеть из фиг. 76, б, с ростом приложенного потенциала барьер, преодолеваемый каждым электроном, заметно уменьшается, и следует ожидать, что ток будет расти с напряжением быстрее, чем по линейному закону; это также наблюдается при напряжениях, приближающихся к 1В.
