Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Более того, задачу о линейном отклике можно сформулировать и для однородной системы общего вида. Слабый внешний потенциал
yoei(4T-wi)
вызывает флуктуации электронной плотности с той же зависимостью от координаты и времени, т. е.
n<ei(9-г-о.0.
§ 4. Экранирование
315
Для достаточно малого V0 этот отклик будет линейным:
Здесь F (q, со) есть функция отклика 1), которая хорошо определена для любой однородной системы электронов. Даже в случае точного описания взаимодействия между электронами существует некоторая функция F (q, о); ее вычисление мы обсудим в п. 5 настоящего параграфа. Там же мы установим и ее связь с величиной точной энергии системы взаимодействующих электронов.
Заметим, что флуктуации плотности отвечает неоднородная плотность заряда, которая вызывает дополнительный потенциал, действующий наэлектроны. Он называется экранирующим потенциалом,
и его можно вычислить непосредственно из уравнения Пуассона:
Это же можно сделать в более общем виде, используя уравнения Максвелла. Однако в большинстве задач будет достаточно уравнения Пуассона. Мы просто будем выполнять расчеты в низшем порядке по отношению скорости (tolq) к скорости света. Для всех приложений, которые мы захотим рассмотреть, этого окажется достаточно. Таким образом, в рамках приближения самосогласованного поля полный потенциал, действующий на электроны, имеет амплитуду
Расчеты переноса (как классические, так и квантовомеханические) удобнее всего вести, если известен полный потенциал. Поэтому мы будем искать линейный отклик системы на полный потенциал
Сравнивая это выражение с (3.26) и (3.27), легко найти связь X(q, о) с функцией отклика:
Таким образом, расчет X (q, о) есть одновременно и решение общей проблемы линейного отклика. В рамках приближения самосогла-
1) Автор использует термин «density-response function» — дословно «функция отклика по плотности». В нашей литературе нет специального термина для этой функции. В дальнейшем мы будем называть ее просто «функцией отклика».— Прим. перев.
ns = F(q, ©)V0.
(3.26)
V*vr4ei(jr-®)<)= _ 4яе2Пге*<9Т-ш*К
или
(3.27)
Vt = V0 + V' = [\+^?-F(q, (D)]VV
п, = Х (q, о) Vt.
(3.28)
(3.29)
316
Гл. III. Электронные свойства
сованного поля результаты удобно выражать через диэлектрическую проницаемость е (q, со), которая связывает полный и приложенный потенциалы:
Диэлектрическая проницаемость, как видно, должна выражаться через X(q, со) с помощью соотношения
е(<7,о>) = 1--(3.30)
Она позволяет нам определить результирующий потенциал Хартри в металле, если известны затравочные потенциалы.
Чтобы оценить те потенциалы, которые присутствуют в металлах и ответственны за энергетическую зонную структуру, мы можем воспользоваться диэлектрическойй]роиицаемостью для нулевой частоты. Аналогично с помощью диэлектрической проницаемости легко получить и потенциал рассеяния, создаваемый дефектами структуры; для этого необходимо знать лишь вид этого потенциала в отсутствие электронного газа. Таким образом, если известна диэлектрическая проницаемость, то это фактически решает проблему экранирования.
В дальнейшем мы увидим, что зависящую от частоты и волнового вектора проводимость также можно непосредственно выразить через диэлектрическую проницаемость. Таким образом, наши расчеты дают одновременно решение весьма общей задачи о проводимости. Так как поглощение света является в конечном итоге следствием потерь на сопротивление очень высокочастотному электрическому полю, диэлектрическая проницаемость позволяет нам построить и элементарную теорию оптических свойств.
Функция отклика может, кроме того, сообщить нам информацию о коллективных колебаниях системы. Мы увидим, что обращение в нуль диэлектрической проницаемости непосредственно связано с существованием известных плазменных колебаний в металле.
В дальнейших расчетах мы обратим внимание на то, что амплитуды экранирующего потенциала или диэлектрической проницаемости могут быть комплексными. Если же, однако, с целью получить действительный потенциал мы наложим друг на друга два внешних потенциала того вида, который мы рассматриваем, то соответствующие отклики также будут действительными, а комплексные амплитуды просто приведут к сдвигу фаз по отношению к приложенным потенциалам.
Диэлектрическая проницаемость особенно полезна в приближении Хартри, где она позволяет получить потенциал, входящий в одноэлектронное уравнение Шредингера. Если, с другой стороны, принимать во внимание и обменные эффекты (например, в прибли-
§ 4. Экранирование
317
жении Хартри — Фока), то они, как оказывается, должны проявляться через некоторый нелокальный (зависящий от энергии) потенциал и их нельзя, следовательно, учесть, просто модифицируя диэлектрическую проницаемость. Можно определить зависящие от энергии диэлектрические проницаемости и диэлектрическую проницаемость для пробных зарядов, которая отличается от таковой для электронов, но, по-видимому, целесообразнее вернуться к функции отклика F (q, со), которая хорошо и однозначно определена. Это мы проделаем в п. 5 настоящего параграфа, но в данный момент мы не будем учитывать никакого обмена и нам будет достаточно обычной диэлектрической проницаемости.
