Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы найти связь между a (q, со) и g (q, со), мы можем записать jug через экранирующий и полный потенциалы. Такая процедура не ограничена какими бы то ни было предельными значениями q и со. Уравнение непрерывности имеет вид
T-i+!-o,
или
q j(q, ш) = ( — <?)con,(q, со).
Электрическое поле задается в виде
(-e)g=_VK<)
или
— <?g(q, со) = — iqVt.
Воспользовавшись теперь соотношением (3.38), имеем
Выражение в квадратных скобках можно сопоставить с X (q, со) из (3.28). Тогда получим
<*) = ^ХЦ, со).
21*
324
Гл. III. Электронные свойства
Сравнивая это выражение с (3.30), мы можем теперь заметить, что о(д, со) = g-[1-е(<7, «)]. (3.39)
Этот результат весьма общий и зависит лишь от определений е (q, со)
и a (q, ш).
Интересно рассмотреть это выражение в длинноволновом пределе; из (3.35) и (3.39) легко находим
. . Ne* х
°(?» /п(1—<(0Т)
При низких частотах мы получаем отсюда статическую проводимость, которая уже вычислялась ранее. В пределе высоких частот
Фиг. 90. Оптическое поглощение в простых металлах в основном пропорционально действительной части проводимости в пределе длинных волн, зависимость которой от частоты показана на этой фигуре.
J_ а
V
это выражение дает просто iWeVm©, т. е. как раз классический отклик системы N свободных зарядов с отношением заряда к массе elm. Действительная часть проводимости при произвольной частоте есть
Ne*T
Reafa, ш)->- да(1+(а2х2) •
Эта функция изображена на фиг. 90. Зная энергетические потери j-g, которые определяются действительной частью проводимости, мы можем вычислить поглощение света (так как мы положили <7~* 0, проводимость оказывается одинаковой как для поперечных, так и для продольных полей). Эти энергетические потери изменяются с частотой как (1 + от)"*, что соответствует теории оптического поглощения Друде. Большая часть экспериментально наблюдаемого в металлах поглощения связана именно с этими потерями. Другие причины поглощения мы рассмотрим позднее.
§ 4. Экранирование
325
3. Квантовая теория экранирования
Проблема, которую мы только что изучали классически, теперь будет переформулирована в рамках квантовой механики. Это снимет ограничение рассматривать только малые q, которое лежит в основе классического рассмотрения. Мы теперь интересуемся откликом квантовомеханической системы на приложенное периодическое поле. Наиболее непосредственным образом можно провести этот расчет, используя метод матрицы плотности, который легко сопоставим с классическим описанием. Действительно, мы увидим, что в классическом пределе соответствующие матричные элементы матрицы плотности переходят в фурье-компоненты функции распределения, появляющейся в классических расчетах. Из этого сопоставления будет ясно видно, какие приближения делаются при использовании полуклассических методов и уравнения Больцмана.
Мы начнем с описания системы N электронов с помощью единственного детерминанта Слэтера
'PjV (Г1) r2i • • ч i"jv> О
и затем обобщим его на более сложный случай. В дальнейшем иам потребуется вычислять одноэлектронные операторы, которые можно записать в виде
0=2° (г<).
Соответствующее среднее значение будет
(О) = 2 j dr, dr2... drNW*No (r,) 4V
i
Чтобы его вычислить, мы разложим каждый из слэтеровских детерминантов по элементам, отвечающим i-му электрону, т. е. запишем
4V=-^=1Ф. (Г/) ТУ2, - ъ (г,) 21 +... ],
где ф; (гО — ортонормированные одноэлектронные функции, входящие в слэтеровский детерминант. Заметим, что эти функции могут н не быть собственными функциями оператора энергии. Множитель N~'t* вынесен специально, чтобы слэтеровские детерминанты Yjifii для N — 1 электронов оставались ортонормированными [см. выражение (2.13) гл. II]. Для каждого г4 мы можем проинтегрировать по оставшимся координатам и в результате получим
<°> = JT 2 J drt 0 (г,) ^ (г,) 0 (г<) Ъ (г‘) +•••!•
i
Теперь координата Г| превратилась в «немую» переменную и из-за N одинаковых членов множитель N~1 перед интегралом сокращается.
326
Гл. Ш. Электронные свойства
Таким образом, мы видим, что среднее значение некоторого одноэлектронного оператора можно получить с помощью единственной функции двух координат — одноэлектронной матрицы плотности, которая определяется выражением
Р (г.- г', Q = 2 Ф» (г. О ФХ (г', 0, (3.40)
где суммирование идет по занятым состояниям. В терминах матрицы плотности среднее значение одночастичного оператора равно
(О)={*[о(г)р(г,г',01г'=г. (3.41)
Здесь мы должны были явно ввести зависимость от двух пространственных переменных, так как о действует только на одну волновую функцию; среднее нельзя вычислить без указанного выделения переменных. Такая процедура пока намного проще, чем описание состояния системы с помощью детерминанта Слэтера. Простота ее обусловлена тем, что мы ограничились вычислением одноэлектронных операторов; по сути же дела оба описания совершенно эквивалентны.
Кроме того, использование матрицы плотности допускает большую общность, чем использование детерминантов Слэтера. Мы можем, например, рассмотреть электронный газ, взаимодействующий с внешней средой. Волновая функция системы тогда содержит не только координаты электронного газа, но и все координаты, описывающие его окружение. Из-за взаимодействия с окружением волновая функция собственно электронного газа не существует. Тем не менее мы можем проинтегрировать по всем координатам внешней среды и получить матрицу плотности, описывающую электронный газ, или одночастичную матрицу плотности. Подобным же образом довольно просто обобщить одноэлектронные матрицы плотности, которые мы только что определили. Систему можно описать линейной комбинацией детерминантов Слэтера; тогда матрица плотности оказывается равной сумме матриц плотности, соответствующих каждому из детерминантов, и перекрестных членов, построенных из всех этих детерминантов с соответствующими весовыми множителями. Таким образом, мы получаем статистическую одноэлектронную матрицу плотности, которую мы будем использовать в дальнейшем. В наиболее общем виде эту матрицу плотности можно выразить через ортонормированную базисную систему функций ф„ следующим образом:
