Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
При больших длинах волн (малые rj) X (q) стремится к классическому значению — п (?), что, как мы знаем, и должно быть. При малых длинах волн (большие rj) X (q) стремится к нулю как \lq%\ электроны не реагируют сколько-нибудь заметно на возмущения с длинами волн, много меньшими, чем длины волн самих электронов. Такое затухание функции отклика в пределе коротких длин волн и есть квантовомеханический эффект, который мы упустили при классическом рассмотрении.
Диэлектрическая проницаемость, которую мы здесь получили, используя квантовомеханический подход, годится для приближенного описания экранирования любого слабого потенциала в газе свободных электронов. Ситуация несколько усложняется в случае экранирования нелокального псевдопотеициала, и мы вернемся к этому в п. 4 настоящего параграфа.
§ 4. Экранирование
333
Интересно отметить, что хартриевская диэлектрическая проницаемость имеет в точке q = 2k р логарифмическую сингулярность вида х In х. Сама функция остается непрерывной, но ее первая производная в этой точке логарифмически расходится. В действительности, как видно из графика справа на фиг. 91, это очень слабая особенность, однако она оказывается важной для многих свойств металлов. Мы увидим, что она вызывает аналогичную сингулярность закона дисперсии (т. е. зависимости частоты от волнового
Фнг. 91. Статическая диэлектрическая проницаемость Хартри, вычисленная для электронной плотности, равной плотности валентных электронов
в алюминии.
Область вблизи сингулярности при q = 2kp увеличенная в 50 раз, изображена справа
отдельно,
вектора) колебаний решетки кристаллов. Это так называемые поповские особенности.
Указанная сингулярность оказывается, кроме того, важной во многих свойствах, которые зависят от фурье-образа диэлектрической проницаемости. Среди них особенно важным является экранированное поле дефекта в металле. Как мы видели, классическое экранирование ведет к экспоненциальному убыванию потенциала на больших расстояниях. Однако, рассматривая фазовые сдвиги в п. 4 § 8 гл. II, мы нашли, что предположение о локализованном потенциале рассеяния в квантовой теории ведет к фриделев-ским осцилляциям электронной плотности на больших расстояниях. Использование диэлектрической проницаемости позволяет
334
Гл. III. Электронные свойства
нам решить эту задачу самосогласованным образом. Такое решение невозможно в рамках формализма фазовых сдвигов, так как результирующий потенциал оказывается дальнодействующим. В то же время мы вынуждены будем ограничиться лишь случаем слабых потенциалов, тогда как фазовый анализ может быть точным. Мы увидим, что осцилляции Фриделя появляются из-за логарифмической сингулярности диэлектрической проницаемости.
Ниже мы только наметим схему вычислений, так как алгебра, если приводить ее в деталях, довольно утомительна. Мы рассматриваем экранирование сферически симметричного потенциала V0 (г), который можно записать в виде разложения Фурье:
Как мы указывали выше, экранированный потенциал имеет вид
где г (q) — статическая диэлектрическая проницаемость Хартри.
Заменим теперь сумму интегралом и будем искать асимптотическое разложение для потенциала. Легче всего это сделать, последовательно интегрируя по частям, тогда каждый последующий член оказывается более высокого порядка по Mr, чем предыдущий. Переходя к интегралу, получаем
Ввиду того что функция е (<?) сингулярна при q = 2kF, неинтегральные «поверхностные» члены следует брать в точках 2kF ± е. а также <7 = 0 и <? = оо. Однако, как можно видеть, члены, отвечающие обеим точкам вблизи сингулярности, сокращаются. Кроме того, мы полагаем, что V\ и ее производные стремятся к нулю в пределе больших q, так что из всего выражения нужно оставить лишь последний интеграл:
9
9
После двукратного интегрирования по частям находим
.у /-Ч _ Г cos qr Чу9 | ? sin yr d Г qVn 1 _
(2л)3 X Г е (q) |Т" г* dq L е (q) J
§ 4. Экранирование
335
Интегралы такого типа обычно стремятся к нулю при обращении г в бесконечность из-за быстрых осцилляций sin qr. Однако, как будет видно, (d2/dq2) е (q) имеет бесконечный скачок при q = 2kр, что дает неисчезающий вклад в интеграл. Производную d?e!dq2 можно получить из (3.53), и наиболее сингулярный член, который должен быть оставлен, равен
тег
4nA**J. (2kр—q) *
Наиболее сингулярный член в
(Р ( \
dq2 V е (9) /
есть
яУЧ,
2kcV°
KFV 2kр / d4
?. / (1г \
е (2kp)2 \ dq* I
Все другие члены являются медленно меняющимися функциями q и дают вклады в интеграл (3.54), которые стремятся к нулю при больших г. В результате выражение (3.54) принимает вид
Qme*v4k “ et„nrrl„ у/л ~______________________Г sin qrdq
v> 4лЧЧРе(2kF)sri J 2kp—q
о
Наконец, делаем замену переменной
x — (q — 2kF) г
и замечаем, что можно распространить пределы интегрирования от минус до плюс бесконечности. Представив, что
sin qr = sin хcos2kFr -f- cos x sin 2kFr,
мы видим, что только первое слагаемое дает вклад. И наконец, используя соотношение
sin* ,
ах —л,
получаем
Qm&V%h „„ 0. ,
V ^ ^ 4лЧЧре (2kF)* - (3‘55)
Результат (3.55) непосредственно связан с выражением (2.55), где рассчитывались фазы. Из этого выражения для плотности заряда легко получить фурье-образ потенциала
