Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
р (г, г', t) = 2 ф„ (г, t) / (п, п') ф;. (г', 0- (3.42)
[п, п' '
Тогда / (п, п) имеет смысл вероятности того, что одноэлектронное состояние ф„ (г, t) занято. Мы могли бы ввести временную зависи-
§ 4. Экранирование
327
мость в /, а не в ф, однако запись, которой мы пользуемся, более удобна.
Формализм матрицы плотности немедленно можно рапространить и на вычисление двухэлектронных операторов. Поступая точно так же, как и выше, мы должны теперь проинтегрировать по всем координатам, кроме двух. Среднее значение двухэлектронного оператора тогда будет
<0(гь Гг)) = f dr,dr2[o(r,, Гг) р (г„ г2, г;, г^)г;=Г1. (3.43)
J '!=г,
Без операторов такого вида не обойтись при строгом вычислении электрон-электронного взаимодействия, однако в рамках приближения самосогласованного поля, которое мы используем, достаточно и одноэлектронных операторов.
Таким образом, мы теперь умеем находить с помощью матрицы плотности необходимые нам квантовомеханические средние. Осталось только научиться определять саму матрицу плотности, т. е. нам нужно найти уравнение, описывающее ее временную зависимость, иначе говоря, аналог уравнения Шредингера, и метод задания начальных условий. Что касается временной зависимости, то ее можно получить из выражения (3.42), так как нам известна временная зависимость каждой одноэлектронной функции, если, конечно, мы можем записать гамильтониан в виде одноэлектронного оператора:
2я(п,о.
i
Эта зависимость определяется уравнением
inMnpJL=я(г,/)ф„ (г,t).
В результате для матрицы плотности мы сразу получаем временную зависимость:
др(т*' ° = 2 {[ifно]г»>(*•', о+
п, п'
-гФп (г, 0 [ж^' (г'> 0]*} /(”> ”')•
Это выражение удобнее переписать в виде
in др(т,г% t)=fJ(i>i р(г> t)_р(r> r,( 0 нf) (3 44)
Уравнение (3.44) есть уравнение Лиуеклля. Оператор Я (г', t), конечно, действует на функции, стоящие слева от него. Это уравнение и дает нам необходимую временную зависимость.
Начальные условия обычно требуют, чтобы система в далеком прошлом находилась в равновесии. В этот давно прошедший момент
328
Гл. III. Электронные свойства
мы можем вычислить одноэлектронные собственные состояния ф„ (г, —оо). Вероятность заполнения некоторого состояния дается тогда просто функцией распределения Ферми, которую мы обозначим /о (л). Таким образом, мы считаем, что матрицу плотности, описывающую состояние системы в отдаленном прошлом, можно получить, если в (3.42) приравнять / (л, л') к /0 (л) б„. причем возмущение, нарушающее равновесие, например внешнее электрическое поле, включается медленно (адиабатически). Последнее означает, что мы должны записать статический потенциал V (г) в виде
V (г, t) = V
где а полагается сколь угодно малой величиной, а свойства вычисляются в момент t = 0. Такое адиабатическое включение потенциала исключает все переходные эффекты и делает задачу хорошо определенной.
Заметим, что матрицу плотности, относящуюся к далекому прошлому, мы считаем диагональной (члены с л' Фп отсутствуют). Это весьма деликатный момент. Диагональная матрица плотности соответствует системе с очень низкой энтропией. Выбирая такой вид начальных условий, мы уже определенным образом упорядочиваем эволюцию системы во времени. На первый взгляд может показаться разумным альтернативный подход, при котором мы бы адиабатически выключали потенциал и считали, что матрица плотности должна быть диагональной при бесконечных положительных временах. Однако такого рода расчет привел бы, например, к ситуации, когда токи текут против приложенных полей, а не вдоль. Требуя, чтобы конечное состояние системы было состоянием с низкой энтропией, мы эффективно обращаем направление времени. Очевидно, адиабатическое включение возмущения, которое мы здесь используем, является довольно разумным подходом.
Для наших целей оказывается удобным провести фурье-преобразование матрицы плотности по обеим пространственным переменным. Тогда матрицу плотности можно записать в виде
р (г, г', о - -з- S eik'rph’h’{t) e~ih'r'=S I k> P*. *' (0 <k' I»
л, ft' ft, ft'
где
Phft' (0 = -g- j drdr’e~ik,rp (r, r', t) eik'r' = <k | p | k'>.
Отсюда, переписывая выражения (3.41) и (3.44), сразу получаем (О) = 2 Oftft'Pft'ft = Sp(op), (3.45)
ft, ft'
d
ih ~Qf9h,h~ 2 IHbwPk-k—Ph'k'Hk-k]* (3.46)
h*
§ 4. Экранирование
329
Мы видим здесь, что р*-л есть матричный элемент матрицы, состоящей из стольких строк и столбцов, сколько имеется волновых векторов. Умножив матрицу
о»*' = (к | о | к')
на матрицу плотности и вычислив след, получим среднее значение. Далее мы видим также, что временная зависимость определяется коммутатором матрицы гамильтониана и матрицы плотности.
Исходя из соотношений (3.45) и (3.46), мы очень легко можем вычислить отклик электронного газа на приложенный потенциал в приближении самосогласованного поля. Мы следуем здесь процедуре, впервые предложенной Эренрайхом и Коэном [12]. Рассмотрим бесконечно удаленный отрицательный момент времени, когда электронный газ имеет равновесную конфигурацию. Приложим к системе потенциал, изменяющийся в пространствен времени как е 4(Л г—<0*>+oct, и вычислим матрицу плотности в момент времени t = 0. С помощью этой матрицы плотности мы затем рассчитаем плотность электронов, которая непосредственно даст нам функцию X (q, ©), определяющую диэлектрическую проницаемость.
