Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Первый шаг состоит в линеаризации уравнения Лиувилля; подобным же образом мы линеаризовывали и уравнение Больцмана. Наш гамильтониан содержит член нулевого порядка Я0, который описывает просто кинетическую энергию, и член первого порядка Ни содержащий приложенный потенциал. Матрица плотности тогда также содержит член нулевого порядка р0 — равновесное распределение и член первого порядка — линейный отклик. Члены высших порядков мы опустим. Подставляя соответствующие величины в уравнение Лиувилля (3.46), получаем уравнения нулевого и первого порядков:
|Й = Я0р0 — РоЯ0
и
Ш = Нфо- РоЯ, + ЯоР, - Р,я0, (3.47)
где каждый из членов рЯ и Яр означает матричное умножение. Уравнение (3.47) есть линеаризованное уравнение Лиувилля.
Рассмотрим матричный элемент с индексами k'k операторного уравнения (3.47). Замечая, что
Povfc = /о (вл) 6fcv и Яofc'fc = e/tfijifc',
где ek — кинетическая энергия h2k2l2m, непосредственно вычисляем матричное произведение
д
330
Гл. III. Электронные свойства
Ho
= o+a*
и pt имеют одну и ту же зависимость от времени. Поэтому d/dt можно заменить просто множителем —iш + а, и мы получаем следующее решение:
]obh')—fotek)
ck-
Окончательно, замечая, что
Нхк.к = У1в-ш+л* 6„',к+д, приходим к выражению
<3-50>
а все прочие матричные элементы первого порядка исчезают.
Прежде чем идти дальше, интересно сравнить то, что мы получили с классическим результатом, в котором мы потребовали, чтобы q было мало. Разложим числитель и знаменатель в (3.50) по q; для малых q имеем
D<. „ (dfpldE) (Лъ/т) k-q у ш+а1 _ Що/дЕ) (iq-ут) у 1м.
Pift+g, ft (й2/т) k*q—йа>—<йа Vt ~ l+iq-vx-icoT ‘
в последнем выражении мы заменили а на 1/т и опустили множитель с*1. Величина 1/а, естественно, появилась бы во всех выражениях, если бы вместо адиабатического включения возмущения мы ввели в уравнение Лиувилля (3.48) член рассеяния — iftpj/x (это другой способ сделать решение хорошо определенным). Сравнивая наш результат с выражением (3.31), мы видим, что в длинноволновом пределе Pih+q.h переходит в соответствующую фурье-компоненту Д (р) функции распределения при стремлении q к нулю, если мы пренебрежем поправочным членом рассеяния 6 п/0/х. Немного позже, когда мы покажем, что экранирующее распределение имеет вид
л (г, 0 = 0"» 2pft+9./,ei«-r,
к
мы окончательно убедимся в том, что приближение, сделанное нами при использовании уравнения Больцмана, есть в точности пренебрежение членами порядка
hq hq
~hk~~p
Частично грехи нашего классического рассмотрения искупаются тем, что оно дает более аккуратный учет рассеяния.
Вычисление матрицы плотности первого порядка решает проблему переноса. Выразим теперь через матрицу плотности первого порядка флуктуации электронной плотности.
§ 4. Экранирование
331
Если электронную плотность в любой момент времени записать в виде фурье-разложения
Сравнивая это с выражениями (3.40) и (3.41), мы видим, чтое-*«г/й есть одноэлектронный оператор, определяющий амплитуду флуктуации плотности nq. Можно сразу получить его матричные элементы, взятые по состояниям плоских волн:
Вычисляя далее в соответствии с (3.45)( среднее значение nq, мы находим и плотность п (г, t):
эта плотность, как видно из выражения (3.51), имеет ту же зависимость от координат и времени, что и потенциал возмущения. Теперь уже мы можем считать а очень малой величиной, и, сравнивая выражение (3.51) с
немедленно получаем величину па, которая в свою очередь равна X (q, со) Vt. В результате
Это есть формула Линдхарда для диэлектрической проницаемости Хартри в случае свободного электронного газа. При вычислении по этой формуле а следует устремить к-нулю. Полученная формула есть точное выражение для диэлектрической проницаемости в приближении Хартри.
Можно переписать эту диэлектрическую проницаемость в виде, который во многих случаях более удобен, если заменить в функции
п{г, 0 = 2М0«**-Г1
я
то для пд будем иметь
«в(0 = ^-j n(r, t)e-(*rdT= j О'Ыг, t) - J dx.
П
/I (r, t) ф 2 Pft+e, ft®'® Г Q
-n.-r4 -n, ----- -------------
ft, q
lt,q
(3.51)
и для диэлектрической проницаемости имеем
332
Гл. III. Электронные свойства
/о (eh+q) индекс k + q на х. Заметим теперь, что вместо х можно написать — х, так как суммирование ведется по всем х. Наконец, в силу того, что функция распределения и энергия не зависят от знака волнового вектора, получаем выражение
efo, »)= 1 + ^J-x
Х2/о М ( ek+q-Bk + fia>+iha + ek+q-e.k-ho)-lha ) ' <3-52)
В выражении (3.52) можно положить а> равным нулю, и мы получим статическую диэлектрическую проницаемость. Освобождаясь от мнимых величин в знаменателях и устремляя а к нулю, легко заметить, что введение а означает взятие главного значения при суммировании по к. Суммы можно заменить интегралами, которые вычисляются при нулевой температуре точно. Эти интегралы совершенно такого же вида, что и в п. 1 настоящего параграфа. Интегрирование дает
Чт^1+1)' <3-м>
где
T» = lfcr*
а п (?) — плотность состояний, отвечающая энергии Ферми
mkF я*й* *
Зная X (q), находим
e(q)= 1-4л^^-.
Это — статическая диэлектрическая проницаемость Хартри; она изображена графически на фиг. 91.
