Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
*(<7. 0)= — п(1).
Наши аргументы теряют силу, когда q становится большим или порядка фермиевского волнового вектора, и, как мы увидим из квантовомеханического расчета, последняя формула в этом предельном случае оказывается неточной.
Интересно применить эту простейшую аппроксимацию к описанию экранирования точечного дефекта. Мы рассмотрим, в частности, экранирование точечного заряда величиной Ze и используем зависящую от волнового вектора диэлектрическую проницаемость. Фурье-образ этого потенциала есть просто 4nZe*/ (Qty3). (Заметим, что при вычислении фурье-образа нам пришлось для обеспечения сходимости ввести фактор е-|*г, который впоследствии был положен равным единице.) Зга функция характеризует приложенный потенциал. Теперь нам нужно разделить ее на диэлектрическую проницаемость, которая определяется просто как
е(<7, 0) = 1+4леу(|)-
Таким образом, мы получили результирующий потенциал, равный приложенному потенциалу, поделенному на диэлектрическую проницаемость; его фурье-образ имеет вид
4nZe2 G (<?*+**) ’
где х — параметр экранирования Томаса — Ферми:
х = У 4яегп (?).
Производя обратное преобразование к r-пространству, мы видим, что экранированный потенциал будет равен просто Z&e~*Tir. Эффект экранирования в этом приближении проявляется лишь в введении затухания дальнодействующего кулоновского потенциала, как показано на фиг. 88.
Во многих приложениях статического экранирования проще использовать линеаризованный метод Томаса — Ферми непосредственно, не прибегая к предварительному разложению Фурье. Так как коэффициент пропорциональности, связывающий л« и Vt, не зависит от q, мы сразу можем выразить отклик через потенциал,
§ 4. Экранирование
321
зависящий от координаты:
nt (г)= -п (6) Vt (г)-л (|) [К0(г) + V, (г)].
Кроме того, мы можем записать
п,{ r) = (-4ne2)-1V2K,(r),
а воспользовавшись уравнением Пуассона, получить таким образом дифференциальное уравнение для К«:
T^VMO-MO-V.tr).
В случае системы, которая первоначально считается однородной, можно ввести внешний потенциал V0 (г) и решить это уравнение
Фиг. 88. Экранирование притягивающего кулонов-ского потенциала в линеаризованном приближении Томаса — Ферми, х — параметр экранирования.
для экранирующего потенциала. Аналогичным образом можно построить дифференциальное уравнение для экранирующей плотности па (г) и непосредственно рассматривать потенциалы, отвечающие распределениям внешнего заряда (см. задачу 8 настоящей главы).
Теперь рассмотрим длинноволновой предел (в котором наши результаты эквивалентны квантовому рассмотрению), но сохраним временную зависимость. Для больших длин волн имеем
JSSLi- (3-35)
21-0257
322
Гл. Ilf. Электронные свойства
Фнг. 89. Диэлектрическая проницаемость электронного газа в пределе длинных волн и больших времен релаксации проходит через нуль при частоте о)р, отвечающей самоподдерживающимся плазменным колебаниям, подобным тем, которые схематически изображены выше.
Если время релаксации достаточно велико, то
ТЯГ- <3'36>
Эта зависимость показана на фиг. 89. Заметим, что е обращается в нуль при такой частоте шр, когда
2 4я Ne2
т
(3.37)
Последнее выражение означает, что электронный газ дает неопределенно большой отклик на приложенное поле этой частоты. Другими словами, в системе существуют самоподдерживающиеся осцилляции. Они как раз и представляют собой длинноволновые плазменные колебания системы, а <ар — плазменная частота. В общем случае нули диэлектрической проницаемости соответствуют возбужденным состояниям системы. Энергия таких осцилляций обычно составляет несколько электронвольт.
Физически плазменные колебания соответствуют волнам сжатия в электронном газе, подобным звуку. Однако вследствие дально-
§ 4. Экранирование
323
действующего характера кулоновского взаимодействия, которое ответственно за эти колебания, их частота не обращается в нуль в пределе длинных волн, но стремится к конечной величине. Плазменные осцилляции в металлах можно наблюдать при облучении тонких пленок электронами высоких энергий. Электроны сильно взаимодействуют с плазменными волнами; изучая пучок прошедших электронов, удается наблюдать характерные энергетические потери.
Для тех частот, которые присуши плазменным колебаниям, величина от всегда достаточно велика, поэтому переход от (3.35) к (3.36) оправдан. Небольшая мнимая часть в диэлектрической проницаемости описывает затухание плазменных колебаний, или, что то же самое, уширение энергии этих возбужденных состояний системы. При значительно более низких частотах (например, со ^ 1012) мнимая часть преобладает; в этом случае физически более правильным будет, по-видимому, описание отклика системы в терминах проводимости, которая, как мы увидим, непосредственно связана с диэлектрической проницаемостью.
Проводимость a (q, со) определяется соотношением
j (q, со) = a (q, со) g (q, со). (3.38)
Здесь j (q, со) и g (q, со) — амплитуды периодически меняющихся плотностей тока и электрического поля. Строго говоря, a (q, со) есть тензор, но для электронного газа, как мы уже говорили выше, в случае % || q она становится скалярной функцией q и со.
