Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
336
Гл. III. Электронные свойства
Фазовые сдвиги связаны с формфактором для рассеяния назад (k + q | w | к) (для малых б;) посредством соотношения (2.58). Наконец, отождествим
(k-fq | и>| к)
с фурье-компонентой экранированного потенциала
NV2kp е (2*р) ’
входящей в выражение (3.55). Тогда мы найдем, что (3.55) содержит дополнительный множитель 1/е (2kF). Таким образом,
Фиг. 92. Экранированный кулоновскнй потенциал н фриде-левскне осцилляции.
X — длина волны электрона с энергией Ферми. В нашем масштабе и для параметров. соответст* вующнх простому металлу, неэкраннрован-ный кулоновскнй потенциал находился бы на фигуре внизу, в то время как экранировка Томаса — Ферми приводит к потенциалу, показанному пунктирной линией.
даже если использовать в расчетах фаз экранированный потенциал V\hp/z (2k F), предположение о локализованное™ потенциала приведет к ошибке ве (2kF) раз. Эта поправка соответствует дополнительному экранированию самих осцилляций.
Экранированный кулоновскнй потенциал с параметрами, соответствующими алюминию, изображен на фиг. 92. На малых расстояниях потенциал изменяется как 1/г, что соответствует неэкра-нированному потенциалу. Этот неэкранированный потенциал 1/г сильно спадает на больших расстояниях, как и при экранировании Томаса — Ферми, однако теперь остаются еще осциллирующие члены.
§ 4. Экранирование
337
Соответствующие осцилляции плотности заряда можно наблюдать при изучении свойств, зависящих от локальной плотности электронов. Например, эксперименты по ядерному магнитному резонансу показывают сдвиг резонансной частоты, зависящий от плотности электронов на ядрах. Уширение этих резонансов в сплавах может быть вызвано осцилляциями фриделевского типа вокруг примесных атомов. Такое уширение возникает и для очень малых частиц из-за фриделевских осцилляций, возникающих у поверхностей кристалла.
Конечно, эти осцилляции не простираются непрерывно до бесконечности. Можно ожидать их экспоненциального затухания в форме е~г/‘, где / — средняя длина свободного пробега электронов, так как осцилляции соответствуют свободно распространяющимся электронам. Кроме того, сингулярность диэлектрической проницаемости обусловлена резкостью обрыва ферми-распределе-ния. Можно думать, что при конечных температурах сингулярность исчезает и затухание фриделевских осцилляций, вероятно, происходит также экспоненциально и, по-видимому, как exp (—kFrKT/EF).
Осцилляции возникают также вследствие экранирования полей отдельных атомов в идеальном кристалле и, как мы увидим дальше, очень важны при изучении атомных свойств.
4. Экранирование псевдопотенциалов и потенциалов гибридизации
До сих пор мы рассматривали экранирование, связанное с откликом свободных электронов на слабые потенциалы. Если же соответствующее возмущение создается ионами, а именно это чаще всего и имеет место, то, как мы видели, возмущающие потенциалы оказываются отнюдь не слабыми. Фактически они достаточно сильны, чтобы привести к фазовым сдвигам, большим л, так что теория возмущений, которую мы использовали при выводе диэлектрической проницаемости, становится неприменимой. Эту трудность удается обойти только потому, что, как нам уже известно, истинные потенциалы можно заменить слабыми псевдопотенциалами, для которых теория возмущения применима. Было бы, однако, неправильным просто заменить в наших результатах для экранирования потенциал на псевдопотенциал. Такая замена повлечет за собой две ошибки. Во-первых, теория возмущений дает нам псевдоволно-вые функции, тогда как истинную плотность заряда можно найти, только если известна истинная волновая функция. Во-вторых, псевдопотенциал следует рассматривать как нелокальный, если матричные элементы, фигурирующие в расчете, связывают состояния, не лежащие на поверхности Ферми. При расчете реальной части диэлектрической проницаемости соответствующие матричные элементы в действительности связывают состояния, лежащие вне
*2-0257
338
Гл. III. Электронные свойства
ферми-поверхности, так что энергетической зависимостью псевдопотенциала пренебрегать нельзя. Однако, как мы увидим ниже, лучше пренебречь обоими этими усложнениями, чем каким-нибудь одним из них. Таким образом, построенная нами простая теория экранирования может рассматриваться как неплохая аппроксимация в рамках метода псевдопотенциала. Сейчас мы хотели бы, во-первых, посмотреть, как экранирование можно рассчитать на основе теории псевдопотенциала, и, во-вторых, исследовать применимость приближения локального псевдопотенциала.
До тех пор, пока мы интересовались лишь энергиями электронных состояний, мы могли использовать псевдопотенциал непосредственно, нам не нужно было беспокоиться о том, что соответствующие псевдоволновые функции отличаются от истинных волновых функций. Когда же мы рассматриваем свойства, зависящие от самих волновых функций, следует быть более аккуратными. В таких случаях лучше всего сначала выразить рассматриваемую величину через истинные волновые функции и истинные энергии, а уже затем подставить выражения для волновых функций, в которые входят псевдоволновые функции и ортогонализационные поправки. Систематически учитывая вклады вплоть до данного порядка, мы можем при этом снова выразить результат через псевдопотенциал. Такие результаты будут отличаться от тех, которые мы получили бы, заменив систему газом почти свободных электронов, а истинный потенциал — псевдопотенциалом.
