Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
х) Частное сообщение.
§ 5. Оптические свойства
351
но становится существенной, когда q « 2kF. Однако для столь больших q истинная диэлектрическая проницаемость должна быть в любом случае близка к единице. Таким образом, включение самосогласованного поля для обмена не слишком изменяет расчет энергетических зон и вследствие неопределенности в значениях параметров типа параметров Хартри успех от введения этих поправок не очевиден.
Вместо этого можно определить диэлектрическую проницаемость через потенциал, действующий на пробный заряд, помещенный в электронный газ в присутствии слабого внешнего потенциала. Тогда мы учтем лишь прямое кулоновское взаимодействие, а не эффективный потенциал обмена и корреляции. Такая диэлектрическая константа очень заметно отличается от диэлектрической проницаемости Хартри, однако соответствующий потенциал никак не входит в расчет зонной структуры. Возможно, что именно сходство между (3.84) и диэлектрической проницаемостью Хартри как раз и делает обычные расчеты энергетических зон столь точными.
§ 5. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Мы начнем с рассмотрения оптических свойств металлов. Затем будут получены результаты, касающиеся межзонного оптического поглощения и в равной мере пригодные для полупроводников и изоляторов.
1. Проникновение света в металл
Вычисление отклика металла на прохождение световых волн представляет собой трудную кинетическую задачу, что связано в основном с геометрическими сложностями. Даже когда мы рассматриваем плоскополяризованную волну, отражающуюся от полу-бесконечного металла, распределение полей в металле не так уж просто и правильное вычисление самосогласованного отклика довольно сложно. Мы воспользуемся простой геометрией, показанной на фиг. 94, и обсудим распределение полей и токов внутри металла.
Примем, что в простом металле отклик описывается проводимостью, которая может зависеть от частоты, но не зависит от волнового вектора. Сделав это предположение, мы фактически утверждаем, что поле мало изменяется на средней длине свободного пробега электрона. В конце мы проверим наш результат и увидим, при каких условиях это действительно справедливо. В соответствии с таким предположением ток в некоторой точке можно записать как
j = <*$•
352
Гл. III. Электронные свойства
Токи и поля меняются с частотой со, и проводимость о может быть функцией со. Эту зависимость мы получим из приближенного решения кинетического уравнения. Сейчас задача состоит в решении уравнений Максвелла. Для поперечного электрического поля, рассматриваемого здесь, не происходит накопления зарядов
Фиг. 94. Схематический график пространственных изменений электрического поля в некоторый момент времени при отражении света от поверхности металла.
и поэтому уравнение Пуассона не дает нам никакой информации. Если нет накопления заряда, то
V* =0.
Уравнения Максвелла приводят к уравнению для векторного потенциала А:
Замечая, что
находим
v * с» dfl 9 — с* dt •
Если принять, что временные и пространственные изменения определяются множителем е{(«-г-мо> и заменить j выражением через электрическое поле, следующим из кинетического уравнения, то мы получим
I ^ ^ 4ЯШ ^
—41$+~ёг* = —
Это уравнение не имеет таких решений, для которых и q, и ш были бы действительны одновременно (за исключением случая, когда о — чисто мнимая величина). Это обстоятельство есть, конечно, отражение того факта, что среда с потерями не может пропускать свет без затухания. Так как отражающийся свет имеет заданную действительную частоту, то решение существует только для комплекс-
§ 5. Оптические свойства
353
ных волновых векторов. Разрешив это уравнение относительно q, получим
(о / , . 4д/0 \ Vs
*=т(1+—) • <385>
Так как q — величина комплексная, то мы видим, что волна экспоненциально затухает в глубь металла. Величина 1 + 4ш'а/<1) есть, как уже было показано в (3.39), комплексная диэлектрическая проницаемость, но в данном случае она описывает отклик на колебания поперечного электрического поля. Квадратный корень из нее называется комплексным показателем преломления.
Для металла при оптических частотах проводимость о много больше, чем со, и поэтому под корнем в уравнении (3.85) можно оставить только второе слагаемое. Таким образом, и мнимая, и действительная части q равны уг2л<аа/с2. Поле в металле затухает на расстоянии порядка обратной величины действительной части q. Эта обратная величина называется классической глубиной скин-слоя:
Т^2лсоо
Теперь мы должны вернуться к вопросу: можно ли считать предположение о медленности изменений поля на средней длине свободного пробега оправданным? В обычных металлах при комнатной температуре длина свободного пробега электронов мала по сравнению с классической глубиной скин-слоя. Таким образом, в большинстве случаев наше предположение оказывается самосогласованным, а решение — справедливым.
С другой стороны, при низких температурах длина свободного пробега может оказаться больше глубины скин-слоя. В этом случае задача становится гораздо более сложной. Попытаемся сначала ввести зависимость проводимости от волнового вектора, как мы это делали при вычислении экранирования. Полученное выражение можно аналитически продолжить в область комплексных волновых векторов и попытаться применить его непосредственно к затухающей в металле волне. Такое решение действительно возможно для электромагнитной волны в металле, однако следует сделать дополнительные предположения. Для распространяющейся плоской волны разумно предполагать, что токи и поля имеют одинаковые координатные зависимости. Для затухающей волны вблизи поверхности металла такое предположение довольно далеко от истины. Присутствие поверхности изменяет, вообще говоря, распределение токов и полей, и для решения кинетической задачи оказывается необходимым вернуться к уравнению Больцмана. Сразу же, однако, можно заметить, что поле ограничивается очень тонким слоем вблизи поверхности. Тогда лишь те электроны, которые движутся почти параллельно поверхности, дадут основной вклад в проводи-
