Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Если разность к' — к не равна вектору обратной решетки, матричный элемент в уравнении (3.88) в идеальном кристалле равен нулю. Следовательно, возможны переходы лишь между состояниями, отличающимися на вектор обратной решетки. Наше рассмотрение здесь основано на схеме расширенных зон, в которой
362
Гл. III. Электронные свойства
волновые векторы, нумерующие состояния, пробегают все обратное пространство. Для других систем может быть более удобным использование схемы приведенной зоны. В этом случае равенство к' — к вектору обратной решетки означает, что переходы могут происходить лишь между состояниями, обладающими одним и тем же волновым вектором в приведенной зоне, но отвечающими различным энергетическим зонам. Даже в щелочных металлах легче понять поглощение, используя приведенную зону, как это показано на фиг. 95. Эту фигуру можно рассматривать как одномерный аналог либо
Фиг. 93. Межзонное оптическое поглощение в щелочном металле, рассматриваемое в схеме расширенных зон как одновременное поглощение фотона
и брэгговское отражение.
В приведенной зоне этот процесс можно рассматривать как вертикальный переход между
зонами.
как диаграмму энергетических зон вдоль линии, перпендикулярной ближайшей грани зоны Бриллюэна щелочного металла. Изменение волнового вектора на вектор обратной решетки в схеме расширенных зон отвечает «вертикальному» переходу в приведенной зоне.
В щелочных металлах поверхность Ферми лежит, как это показано на фигуре, в первой зоне, так что существует минимальная энергия фотона, с которой начинается поглощение. Она называется краем поглощения. Заметим, что вблизи края поглощения энергетическая зона близка к зоне свободных электронов. Искажения, возникающие из-за конечного значения псевдопотенциалов, ограничиваются в основном областью вблизи граней зоны Бриллюэна. Таким образом, в уравнении (3.87) для проводимости можно воспользоваться энергией свободного электрона. Этот факт подтвер-
§ 5. Оптические свойства
363
ждается экспериментально. Края межзонного поглощения близки к порогам, предсказываемым теорией свободных электронов. Эти процессы проявляются как дополнительное поглощение при энергиях порядка нескольких электронвольт, т. е. в той области, где поглощение Друде становится малым.
Интенсивность поглощения можно вычислить, воспользовавшись формулой Кубо — Гринвуда (3.87). Учет грани зоны Бриллюэна, соответствующий вектору обратной решетки q, дает дополнительный вклад в проводимость, связывая занятое состояние фл с незанятым состоянием ф*+9.
Суммирование по состояниям сложно, и мы для упрощения воспользуемся приближением (3.89) для силы осциллятора. Тем не менее следует отметить, что, используя (3.89) вместо точного выражения (3.88), можно ошибиться в 2 раза, а то и больше [25]. Взяв систему координат с осью г, расположенной вдоль вектора электрического поля световой волны, мы увидим, что в поглощение входит лишь одна компонента тензора проводимости о33. Из соотношений (3.87) и (3.89) следует
Re о„ - 2 2 М«011 - (*«>1 X
я ft
x|(k + q|lF|k>|2[6 (eft+, — eft — ftw) — 6 (eft+, — eh + ftw)b
где ф — угол между q и вектором электрического поля. Таким образом, мы выразили проводимость в виде суммы по всем векторам обратной решетки.
Сосредоточим теперь внимание на каком-нибудь одном из них. При нулевой температуре функция /о(вл) не равна нулю лишь при k < kF, и в щелочных металлах энергии eft+9 всех конечных состояний, в которые совершается переход, лежат выше энергии Ферми, т. е.
[1 -/о («*+,)] =1.
Кроме того, при <о > 0 только первая б-функция дает вклад в сумму. И наконец, мы возьмем локальное приближение псевдопотеициала, т. е. будем считать, что (k -1- q | W | к) не зависит от к. Такое предположение согласуется с использованием выражения (3.89) для матричных элементов, однако результат будет верен лишь полуколичественно- Итак, имеем
Reо3, = S Л^°оФ- l<k+q|^|k>|2 2 в(ел+в-ек-й«).
Я к<кр
Теперь легко провести суммирование по к. Используя в выражении для дельта-функции энергии нулевого приближения, что, как мы видели, справедливо для щелочных одновалентных металлов,
364
Г л. III. Электронные свойства
получаем
2 = S в(е»+« —е* —Лм) =
= (Щ5 ( (2^7cos в + <72) — &w] s*n QdQk2dk,
где 0 — угол между к и q. Интегрирование проводится по занятым состояниям и его результат не равен нулю, лишь если
*«>-?-fo*-2*rf). (3-91)
так как в противном случае дельта-функция лежит вне области интегрирования. Это и дает край поглощения, который можно было получить и из рассмотрения фиг. 95.
Сначала проведем интегрирование по углам. Результат этого интегрирования при заданном k будет отличен от нуля, если область интегрирования включает точку, где аргумент дельта-функции обращается в нуль, т. е.
(3-92)
и
<3-93)
Неравенство (3.93) может быть удовлетворено лишь для фотонов высоких энергий, так что вблизи края поглощения это условие выполняется. Неравенство же (3.92) ограничивает область, дающую вклад в интеграл по k, энергиями, лежащими вблизи края поглощения. Таким образом, после выполнения интегрирования по углам получаем
