Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Мы сделаем это, описав квантовомеханически электрон и решетку, когда вычислим вероятность перехода. Выберем простой, насколько это возможно, гамильтониан, который тем не менее содержит существенную для нашей задачи физику. Этот гамильтониан включает в себя Яеi — кинетическую энергию электронов и их потенциальную энергию в невозмущенной решетке (х = 0). Кроме того, он включает решеточный гамильтониан Я[аь состоящий из упругой энергии, пропорциональной Xs, и кинетической энергии
решетки, пропорциональной х*. Нш есть просто гамильтониан гармонического осциллятора с координатой х.
Теперь мы должны ввести связь между электроном и искажением, так как именно она является причиной стоксовского сдвига. Эта связь должна зависеть от х и от энергии (или состояния) электрона. Простейшим слагаемым такого типа служит —рЯв1Х, где р. — константа. Такой выбор является довольно произвольным, но, как будет видно в дальнейшем, ведет к кривым типа показанных на фиг. 100.
Наконец, введем гамильтониан Hg, связанный с электрическим полем возбуждающего света и зависящий от электронных координат (или импульсов), однако пренебрежем взаимодействием света с искажением решетки. (Действительно, такого взаимодействия
У 5. Оптические свойства
375
не будет, если рассматриваемое искажение имеет инверсионную симметрию.) Чтобы рассматривать задачу о скорости перехода корректно, мы должны ввести пакет по световым частотам, чтобы уничтожить фигурирующую в выражении для вероятности перехода дельта-функцию. Однако мы будем искать только поправочные множители и поэтому не должны беспокоиться об этом. Постулированный таким образом гамильтониан есть
Я = Яе 1 f tfut — цЯе1х4-Я^.
Сначала рассмотрим задачу без электрического поля, чтобы найти невозмущенные состояния, а затем введем Hg, как возмущение, чтобы вычислить вероятность переходов между уровнями. На первом этапе мы покажем, что невозмущенные уровни без электрического поля отвечают фиг. 100.
Волновые функции системы суть функции положения электрона г и параметра искажения х. Однако для простого гамильтониана их можно разделить:
?(г, х) = ф(г)Ф(х), (3.97)
так что, действуя на (3.97) гамильтонианом
Н' = Н-Н%,
получаем
Н,у? (г, х) = ?е 1фь(г) Ф (х) + ф (г) Я,а1ф (х) — |*?е|ф (г) Хф (х), (3.98) где ?ei — собственное значение энергии электрона, т. е.
Яе1ф (г) = ?е,ф(г).
В правой части уравнения (3.98) можно написать
(?е1 + ?1аОФ(г)ф(х),
если
(Яlat — ц?е1Х) ф (х) = ?шф (х). (3.99)
Уравнение (3.99), которое уже не содержит электронной координаты, решается просто. Гамильтониан Н\л\ — гамильтониан гармонического осциллятора, включающий потенциальную энергию, которую можно записать в виде хх*/2. Добавочное слагаемое —p?eix просто сдвигает начало координат в выражении для потенциальной энергии:
?g—yg,»- (3.100)
Таким образом, собственные функции уравнения (3.99) представляют собой волновые функции гармонического осциллятора, центрированного около точки х — p?ei/x, а собственные значения суть
, 1 \
376
Г л. Ш. Электронные свойства
где wiat — классическая частота гармонического осциллятора и п — квантовое число. Итак, мы нашли собственные состояния гамильтониана Н'\
(г) Фд(*—*?*-)--=
= [Ed - + П(ЙМ (n+^f) ]ф(г)фд (-«----У^1-) *
Теперь можно привести наши результаты в соответствие с фиг. 100. Пусть два наинизших собственных значения Ее\ суть Е0 и Et. Из потенциала, который нам дает выражение (3.100), видно, что минимальные полные энергии для этих состояний находятся соответственно при .v0 = \iEq/x и = p?t/x. В квантовомеханическом рассмотрении мы вместо классической координаты х будем рассматривать зависящую от х волновую функцию. Система осталась той же самой, изменился лишь метод ее описания.
За оптическое поглощение ответственны переходы, в результате которых электрон из состояния ф0 попадает в состояние i|v Возьмем основное состояние системы Фо(г)фо(* — *о) в качестве начального и рассмотрим переходы во все возбужденные состояния Ф1 (г) Фд (* — *i)- Полезно провести сначала выкладки для случая, когда постоянная электрон-решеточной связи р. равна нулю. Тогда хо = JCi и полные энергии равны
Ее\ 4- StOjat (и + -jr) •
Матричный элемент перехода есть
<4>i (г) ф« (х) | Н% | ф0 (г) Фо (*)>•
Так как Hg действует только на электронные координаты, мы можем выполнить интегрирование по х непосредственно, и так как из-за ортонормированносги волновых функций гармонического осциллятора
<Фп (х) | Фо (*)) = бдо.
переходы идут лишь в те состояния, в которых решетка находится в основном состоянии. Конечно, все будет совсем не так, если Hg зависит от х. Тогда станет возможным поглощение света непосредственно самой решеткой. Однако, так как мы не интересуемся в настоящий момент вкладом решетки в поглощение, соответствующее слагаемое в гамильтониане можно опустить. Таким образом, остается матричный элемент
<Ф1 (г)1^«|Фо(г)).
как раз такой, который определял бы поглощение, если бы искажения решетки были бы невозможны. Кроме того, энергетическая
§ 5. Оптические свойства
377
дельта-функция принимает вид
